凸函數(shù)的性質(zhì)

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1、3凸函數(shù)的性質(zhì)凸函數(shù)的性質(zhì)【摘自[前蘇]克拉斯諾西爾斯基等著《凸函數(shù)與奧爾里奇空間》（中譯本）】通常稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是“下(上)凸函數(shù)”，若對于內(nèi)任意兩點(diǎn)和與任意，都滿足“琴生(Jesen)不等式”(※)或(※※)[其中和為正數(shù)且]它的特別情形(取)是(※※※)在§2-7中曾把它作為下(上)凸函數(shù)的定義.。我們將證明，對于連續(xù)函數(shù)來說，不等式(※※※)與琴生不等式(※)是等價的。正因?yàn)檫@樣，我們在教科書中就用簡單的不等式(※※※)定義了下(上)凸函數(shù)（因?yàn)槲覀冄芯康暮瘮?shù)都是連續(xù)函數(shù)）。下凸函數(shù)簡稱為凸函數(shù)

2、，上凸函數(shù)簡稱為凹函數(shù)。請讀者注意，這些稱呼同國內(nèi)某些教科書中的稱呼是不一致的。但是，我們的上述稱呼與新近出版的許多教科書或發(fā)表的論文中的稱呼是一致的。因?yàn)楹瘮?shù)的“上凸”與“下凸”是對偶的，所以，下面只討論下凸函數(shù)的性質(zhì)。相信讀者一定能夠把下面得出的結(jié)論，類比到上凸函數(shù)上。（一）琴生不等式的幾何意義x3xABCx1x2圖一我們先解釋一下琴生不等式的幾何意義。如圖一，設(shè)，則（根據(jù)解析幾何中的定比分點(diǎn)公式（*）區(qū)間上的點(diǎn).））。根據(jù)琴生不等式(※※)，[注意]33凸函數(shù)的性質(zhì)從而，得不等式（基本不等式）它說

3、明(見圖一)，弦的斜率小于弦的斜率，而弦的斜率又小于弦的斜率。（二）凸函數(shù)的性質(zhì)為簡單起見，下面只討論與我們的問題有關(guān)的凸函數(shù)的性質(zhì)。性質(zhì)1若在區(qū)間內(nèi)是下凸函數(shù)，則⑴在每一點(diǎn)都有左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)【因此（*）有左導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù)，有右導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)在點(diǎn)右連續(xù)。），凸函數(shù)是連續(xù)函數(shù)】，而且；⑵左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都是單調(diào)增大的函數(shù)。證⑴設(shè)，并且滿足不等式(圖二)x-h2x-h1xx+h1x+h2b(a)x圖二根據(jù)基本不等式，則有③②①考慮函數(shù)（）根據(jù)上述不等式中最左邊的不等式①，當(dāng)時，函數(shù)是單增的且有上界，所以

4、有極限=類似地，根據(jù)最右邊的②，函數(shù)（）當(dāng)時是單減的且有下界，所以有極限根據(jù)中間一個不等式③，＜，再讓，得.x1x1+hx2-hx2····x圖三證⑵為證左、右導(dǎo)數(shù)都是單調(diào)增大的，譬如證是單調(diào)增大的。設(shè)，并取正數(shù)h足夠小，使（圖三）根據(jù)基本不等式，33凸函數(shù)的性質(zhì)注意到當(dāng)時，左端（關(guān)于）是單減的，右端是單增的，所以.再根據(jù)上面已證的結(jié)論[]，就得到.假若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可微分，根據(jù)教科書中的定理2-3，則導(dǎo)數(shù)是增大的函數(shù)是下凸的?，F(xiàn)在，我們又證明了“函數(shù)是下凸的導(dǎo)數(shù)是增大的”[注意，]。因此，對于可微函數(shù)來

5、說，它是下凸的它的導(dǎo)函數(shù)是增大的。根據(jù)對偶性，它是上凸的它的導(dǎo)函數(shù)是減小的。性質(zhì)2若是區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，則不等式(※※※)與琴生不等式(※)是等價的。證顯然，在琴生不等式中取，就是不等式(※※※)。剩下來就是要證明，從不等式(※※※)也可以推出琴生不等式(※)。為簡單起見，我們只證明其中的情形“＜”。事實(shí)上，(反證法)假若琴生不等式(※)不成立，即至少有一個和有與，使作(連續(xù))函數(shù)并記它的最大值為，則(根據(jù)反證法的假設(shè))。首先假定，并把函數(shù)在區(qū)間上取到最大值的最大值點(diǎn)的最小者記為，則(因?yàn)?。取正數(shù)足夠

6、小，使，于是對于點(diǎn)和則根據(jù)不等式(※※※)，即可得[注意=]33凸函數(shù)的性質(zhì)兩端再同時減去，便得到這是不可能的()。其次，若，根據(jù)反證法的假設(shè)，則至少有一點(diǎn)使.重復(fù)上面的作法，則得這也是不可能的。因此，對于一切和任意與，都有，即函數(shù)滿足琴生不等式正因?yàn)閷τ谶B續(xù)函數(shù)來說，不等式(※※※)與琴生不等式(※)是等價的，所以我們在教科書中就把簡單的不等式(※※※)作為下(上)凸函數(shù)的定義.。3