數(shù)學(xué)史在教育教學(xué)中的實(shí)踐與應(yīng)用的研究劉石洋2

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1、2014年度義烏市規(guī)劃課題數(shù)學(xué)史在教育教學(xué)中的實(shí)踐與應(yīng)用的研究任意角的三角函數(shù)的課例研究義烏三中劉石洋義烏中學(xué)王芳二0一五年十月課題摘要HPM在20世紀(jì)70年代成為一個(gè)獨(dú)立的學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域，到如今成為國(guó)際數(shù)學(xué)教育的新思潮之一?但基于HPM的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐探索還很少?數(shù)學(xué)史融入到數(shù)學(xué)教學(xué)仍是件不容易的事,它沒有現(xiàn)成的模板,需要老師在實(shí)踐屮不斷總結(jié)探索.人教版教材中“任意角的三角函數(shù)”的編寫，忽略了從銳角到任意角、從平面幾何到解析幾何及從單位圓到終邊的口然過渡和比較。借鑒三角函數(shù)概念的發(fā)展從弦長(zhǎng)到比值、從銳角到任意角以及從平面幾何

2、到解析幾何的歷史過程，對(duì)“任意角的三角函數(shù)”的教學(xué)，重構(gòu)了“從特殊角到單位圓”，“從單位圓到坐標(biāo)系”、“從'單位圓定義法'至山'終邊定義法'三個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)；并重點(diǎn)借助托勒密求弦長(zhǎng)的數(shù)學(xué)思想和生活中常見的曲柄連桿模型，引出了單位圓和坐標(biāo)系。課后學(xué)生反饋表明，這樣的教學(xué)取得了良好的效果。關(guān)鍵詞：HPM任意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)單位圓1課題背景1.1課改重起源1.2國(guó)際上HPM新潮流1.3國(guó)內(nèi)HPM悄悄興起2三角學(xué)的歷程2.1三角學(xué)的發(fā)展歷程2.2三角學(xué)的教學(xué)歷程3課題研究3.1研究目的3.2研究形式3.3研究方法3.3.1課題研究方

3、法3.3.2課例研究方法3.4研究?jī)?nèi)容3.4.1任意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)3.4.2課堂實(shí)錄3.421從“特殊角”到“單位圓”3.4.2.2從“單位

4、員I”到"坐標(biāo)系”3.4.2.3從“單位圓定義法”到“終邊定義法”3.5課題研究成效3.5.1引入比較3.5.2托勒密思想的運(yùn)用3.5.3曲柄連桿的應(yīng)用3.6課例反思與總結(jié)4課題結(jié)論5參考文獻(xiàn)6附件6」任意角的函數(shù)的課件6.2任意角的函數(shù)微課6.3發(fā)表的課例論文數(shù)學(xué)史在教育教學(xué)中的實(shí)踐與應(yīng)用的研究任意角的三角函數(shù)課例研究1.課題背景1.1課改重起源新課改的普通高屮數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出

5、數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展屮的作用，逐步形成止確的數(shù)學(xué)觀。數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會(huì)需求，社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神。⑸現(xiàn)在的根，深扎在過去，而對(duì)于尋求理解“現(xiàn)在之所以成為現(xiàn)在這樣子”的人們來說，過去的每一事件都不是無關(guān)的。數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)體，它的生命力的一個(gè)必要條件是所有各部分的不可分離。在M.克萊因眼里數(shù)學(xué)史的重要程度可謂無以復(fù)加?他堅(jiān)信歷史上數(shù)學(xué)曾經(jīng)遇到過的困難,在課堂上學(xué)生同樣會(huì)遇到，因而歷史對(duì)

6、于課堂教學(xué)具右重要的借鑒作用?他指岀數(shù)學(xué)絕對(duì)不是課程或教科巧里所指的那樣膚淺觀察和尋常詮釋，它常常需要兒十年，甚至兒百年的努力才能邁岀有意義的兒步。⑷1?2國(guó)際上HPM新潮流20世紀(jì)70年代,HPM成為一個(gè)獨(dú)立的學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域，當(dāng)今已成為國(guó)際數(shù)學(xué)教育的新思潮之一?1995年在美國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)就發(fā)起歷史模塊項(xiàng)目的的研究。但基丁HPM的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐探索還很少，數(shù)學(xué)史融入到數(shù)學(xué)教學(xué)中仍然是件不容易的事，冇啟發(fā)的思想與數(shù)學(xué)教學(xué)冇機(jī)的結(jié)合,一直是HPM學(xué)者們的研究目標(biāo)。1?3國(guó)內(nèi)HPM悄悄興起國(guó)內(nèi)學(xué)術(shù)界直到木世紀(jì)初才開始普遍關(guān)注HPM

7、領(lǐng)域.尤其是在教材方面歷史知識(shí)增加了不少，給學(xué)生很多的啟發(fā)。實(shí)際上，教學(xué)是一個(gè)系統(tǒng)工程，要想實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)史發(fā)揮其效力，需要從HPM的角度綜合恰當(dāng)好處地融入。人教版普通高屮數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《必修④》第一章“三角函數(shù)”第121節(jié)“任意角的三角函數(shù)”是全章承前啟后的關(guān)鍵所在。通過本課的正弦、余弦、正切函數(shù)定義，為此后同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等奠定了必要基礎(chǔ)，從而構(gòu)建出一個(gè)系統(tǒng)的“三角函數(shù)”知識(shí)體系。在本節(jié)，教材直接把“銳角”置于直角處標(biāo)系的背景之中，先用“終邊定義法”得出“銳角三角函數(shù)”的定義，再利用

8、相似三角形優(yōu)化至“單位圓定義法”o通過類比，最終引出“任意角的三角函數(shù)”的定義。就本節(jié)內(nèi)容而言，這種編排方式邏輯清晰、逐層遞進(jìn)，冇助于學(xué)生順利理解教材的編寫意圖。從教學(xué)實(shí)施來看，這里仍然存在著兩個(gè)問題。一是“直角處標(biāo)系”的出現(xiàn)比較突兒。在本章開始的第1.1.1節(jié)“任意角”中已經(jīng)引入了直角處標(biāo)系，并指出“今后我們常在直角處標(biāo)系內(nèi)討論角”[1],但在第1.1.2節(jié)“弧度制”中卻并未提及坐標(biāo)系。曲于“角”與“坐標(biāo)”之間的聯(lián)系尚未穩(wěn)固，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)本課內(nèi)容時(shí)較難自覺地運(yùn)用直角處標(biāo)系。二是“單位圓定義法”與“終邊定義法”的選擇。相對(duì)而

9、言，“終邊定義法”更貼近學(xué)生初中已有的知識(shí)儲(chǔ)備，容易理解用比值2、藝、上分別表示角rrxQ的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)?！皢挝粓A定義法”充分表現(xiàn)了當(dāng)時(shí)用坐標(biāo)（3）直接表示三角函數(shù)值sin—八cosa=x的優(yōu)勢(shì)，以此為依托得到的三角函數(shù)線，是研究三角函數(shù)的圖象不可或缺的重要工具。無論直角坐