61正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)

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1、6.1正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、復(fù)習(xí)引入1、復(fù)習(xí)（1）函數(shù)的概念在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x、y,若對(duì)于兀在某個(gè)實(shí)數(shù)集合￡＞內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則/,y都有唯一確定的實(shí)數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則y就是兀的函數(shù)，記作y=/&），XGDo（2）三角函數(shù)線設(shè)任意角Q的頂點(diǎn)在原點(diǎn)0,始邊與兀軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P（x,y）,過P作兀軸的垂線，垂足為M；過點(diǎn)4（1,0）作單位圓的切線，設(shè)它與角G的終邊（當(dāng)?在第一、四象限角時(shí)）或其反向延長(zhǎng)線（當(dāng)q為第二、三象限角時(shí)）相交于7規(guī)定：當(dāng)0M與兀軸同向時(shí)

2、為正值，當(dāng)0M與兀軸反向時(shí)為負(fù)值；當(dāng)MP與y軸同向時(shí)為正值，當(dāng)MP與y軸反向時(shí)為負(fù)值；當(dāng)AT與y軸同向時(shí)為正值，當(dāng)AT與y軸反向時(shí)為負(fù)值；根據(jù)上面規(guī)定，則0M=x,MP=yj由止弦、余弦、正切三角比的定義有:sin心丿r1y=MP；xxcosa=—=—=x=OM；r1ta^=2=MP=AT=AT；x0M0A這幾條與單位圓有關(guān)的有向線段MP^OM^AT叫做角a的正弦線、余弦線、正切線。二、講授新課【問題驅(qū)動(dòng)1】一一結(jié)合我們剛學(xué)過的三角比，就以正弦（或余弦）為例，對(duì)于每一個(gè)給定的角和它的正弦值（或余弦值）之間是否也存在一種

3、函數(shù)關(guān)系？若存在，請(qǐng)對(duì)這種函數(shù)關(guān)系下一個(gè)定義；若不存在，請(qǐng)說明理由.1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義（1）正弦函數(shù)：y=sinx,xwR；（2）余弦函數(shù)：y=cosx,xwR【問題驅(qū)動(dòng)2】如何作出正弦函數(shù)y=sinx,A：w/?、余弦函數(shù)y=cosx,xeR的函數(shù)圖象？2、正弦函數(shù)y=sinx,xeR的圖像（1）y=sinx,xe[0,2^]的圖像【方案1】一一幾何描點(diǎn)法步驟1：等分、作正弦線一一將單位圓等分，作三角函數(shù)線（正弦線）得三角函數(shù)值；【方案2】一一五點(diǎn)法步驟1:列表一一列出對(duì)圖象形狀起關(guān)鍵作用的五點(diǎn)坐標(biāo);步驟2

4、：描點(diǎn)一一定出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)；小結(jié)：y=sin［0,2^］的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是（0,0）.（2）y=sinx,xe/?的圖像由sin（2^+x）=sinx.keZ,所以函數(shù)y=sinx在區(qū)間［2R龍,23+2龍］（展Z,kH0）上的圖像與在區(qū)間［0,2龍］上的圖像形狀一樣，只是位置不同.于是我們只要將函數(shù)y=sinx,^G［0,2龍］的圖像向左、右平行移動(dòng)（每次平行移動(dòng)2龍個(gè)單位長(zhǎng)度），就可以得到正弦函數(shù)y=sinx,xe/?的圖像。-471yy=sinx(xeR)3.余弦函數(shù)y=cosx,xeR的圖像（2）y=cosx.xe/

5、?的圖像圖像平移法（..（兀、'I2；(1)y=cosx.xe［0,2^］的圖像由sin兀+芻卜cos兀，可知只須將y=sinx,xGR的圖像向左平移彳即可。y=cosx(xeR)三、例題舉隅例、作岀函數(shù)y=l+sin兀，兀w［0,2龍］的大致圖像；【設(shè)計(jì)意圖】一一考察利用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像【解】X07t771371T271sinx010-10y=1+sinx12101①列表②描點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中，描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):（0,1）、（彳,2）、（龍,1）、③連線練習(xí)、作出函數(shù)y=--smx,xe［0,2^］的大

6、致圖像v=sinx(xeR)y=cosx(xeR)1.定義域：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實(shí)數(shù)集R[或(一8,+8)],分別記作：y=sirusx^Ry=cosx,2.值域因?yàn)檎揖€、余弦線的長(zhǎng)度小于或等于單位圓的半徑的長(zhǎng)度，所以丨sinxlW1,IcosjcIWI,即一lWsinxWl,—lWcosxWl也就是說，正眩函數(shù)、余眩函數(shù)的值域都是[—1,1]?其中正弦函數(shù)j=sinx,x^R①當(dāng)且僅當(dāng)x=—4-2kji,MZ時(shí)，取得最大值1?2②當(dāng)且僅當(dāng)x=--+2kn,k^Z時(shí)，取得最小值一12而余弦函數(shù)j=cosx

7、,x^R①當(dāng)且僅當(dāng)x=2kn,灼兀時(shí)，取得最大值1?②當(dāng)且僅當(dāng)x=(2k+l)ir,kWZ時(shí)，取得最小值一13.周期性由sin(x+2k兀)=sinx,cos(x+2kn)=cosx(k^Z)知：正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復(fù)地収得的。一般地，對(duì)于函數(shù)/U),如果存在一個(gè)非零常數(shù)八使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí),都有.心+T)=./U),那么函數(shù)/(兀)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)卩叫做這個(gè)函數(shù)的周期。由此可知，2”，4Ji,,—2”，一4刀，2￡刀伙WZ且EH0)都是這兩個(gè)函數(shù)的周期.對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)幾X)

8、,如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做/(x)的最小正周期。1.奇偶性由sin(—x)=—sinx,cos(—x)=cosx可知：y=sinx為奇函數(shù)，y=cosx為偶函數(shù)???正弦曲線關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱,余弦曲線關(guān)于y軸對(duì)稱2.單調(diào)性結(jié)合上述周期性可知：jr7T正弦函數(shù)在每一個(gè)閉區(qū)間［——+2",—+2k”