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《MBA數(shù)學(xué)輔導(dǎo):極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分的概念》由會員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、MBA數(shù)學(xué)輔導(dǎo):極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分的概念極限的概念是整個(gè)微積分的基礎(chǔ),需要深刻地理解,由極限的概念才能引出連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分等概念。極限的概念首先是從數(shù)列的極限引出的。對于任意小限接近。而函數(shù)的極限是指在X0的一個(gè)臨域內(nèi)(不包含X0這一點(diǎn)),如果對于任意小的熬都存在正數(shù)Q,使所有(XO-Q,XO+Q)內(nèi)的瓦都滿足
2、F(X)-A
3、《E,爹求極限的題目都可以的正數(shù)E,如果存在自然數(shù)M,使所有N?M時(shí),
4、A(N)-A
5、都小于E,則數(shù)列的極限為A。極限不是相奨怖是無=2不在函數(shù)定義域內(nèi),但F(X)=X-1,因此
6、在X無限接近2,限接近1,因此F(X)在2處的極如果函數(shù)在X0的極限存在,函數(shù)在X0則F(X)在X0點(diǎn)的極限為用極限的定義直接苗例如F(X)=(XT-3X+2)對于任何X不但不等隸限為lo連纟I,有定好而且極限值等于函數(shù)值,則稱F(X)在X0點(diǎn)連續(xù)。以上的三個(gè)條件缺一不可。在上例中,F(xiàn)(X)在X=2時(shí)極限存在,但在X=2這一點(diǎn)沒有定義,所以函數(shù)在X=2不連續(xù);如果我們定義F(2)=l,補(bǔ)上"缺口〃,則函數(shù)在X=2變成連續(xù)的;如果我們定義F(2)=3,雖然函數(shù)在X=2時(shí),極限值和函數(shù)值都存在,但不相等,那么
7、函數(shù)在X=2還是不連續(xù)。都■勺變化率,直觀地看是指切廠切線可以平行于Y軸,此1導(dǎo)數(shù)不存在,但切線存在。卜極限的求法。對于X=XO,在X0由連續(xù)又引出了左極限、右極限和左連續(xù)、右連續(xù)的概念。函數(shù)值等于左極限為左連續(xù),函數(shù)值等于右極限為右連續(xù)。如果函數(shù)在X0點(diǎn)左右極限都等于函數(shù)值,則函數(shù)在x=xo時(shí)連續(xù)。這個(gè)定義是解決分段函數(shù)連續(xù)問題的最重要的、幾予是唯丄的方法。如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)間的左右端點(diǎn)分別左右連續(xù)(對閉區(qū)贛細(xì)側(cè)稱函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上連續(xù)。導(dǎo)數(shù)的概念。導(dǎo)數(shù)線的斜率。略,惑時(shí)斜率為茅拐你曾te導(dǎo)數(shù)不存
8、在,但切線存在。導(dǎo)數(shù)的徐加附號吏^4^X1,求X0與XI連線的斜率。當(dāng)XI無限靠近X0,但不與X0重合時(shí),這兩點(diǎn)連線的斜率,就是F(X)在X=XO處的導(dǎo)數(shù)。關(guān)于導(dǎo)數(shù)的題0多數(shù)可用導(dǎo)數(shù)的定義直接解決。教科書中給出了所有基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,如果自己能用導(dǎo)數(shù)的定義都推導(dǎo)一遍,理解和記憶會更深刻。其中對數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)中用到了重要極限:limx~>0(l+x)A(l/x)=e0導(dǎo)數(shù)同樣分為左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)存在的條件是:F(X)在X=XO連續(xù),左右導(dǎo)數(shù)存在且相等。這個(gè)定義是解決分段函數(shù)可導(dǎo)問題的最重要的、幾乎是
9、唯一的方法。n如果函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),在區(qū)間的左右端點(diǎn)分別左右導(dǎo)數(shù)存在(對閉區(qū)間而言),則稱函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上可導(dǎo)。變量X,的微小變化的變化又引起集合C賊夠於^f(u)的變化,則r[u(x)]=df(u)/dx=df(u)/du*▼du,u復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函du/dx=f(u)*uz(x)導(dǎo)數(shù)在生活中的例子最復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例如f[u(x)],是集合A產(chǎn)生微小變化dx,引起集合B蟲的是距離與時(shí)間的關(guān)系。物體在極其微小《1時(shí)間內(nèi),移動了極其微小的距離,二者的比值就是物體在這一刻的速度。對于自由落體運(yùn)動
10、,下O&s=WA2,則物體在時(shí)間to的速度為V(tO)=[S(tO+a)-S(tO)]/a,當(dāng)a趨近于0時(shí)的值,等于gtO;而速度隨時(shí)間的增加而增加,變化的比率g稱為加速度。加速度是距離對時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。從直觀上看,可導(dǎo)意味著光滑的、沒有尖角,因?yàn)樵诩饨翘幾笥覍?dǎo)數(shù)不相等。有笑話說一位教授對學(xué)生抱怨道:"這飯館讓人怎么吃飯?你看這碗口,處處不可導(dǎo)!"積分的概念。從面積上理解,積分就是積少成多,扌巴無限個(gè)面積趨近于0的線條,累積在一起,就成為大于0的面積。我們可以把一塊圖形分割為狹長的長方形(長方形的高度都取
11、函數(shù)在左端或右端的函藜值),分別計(jì)算各個(gè)長方形的面積再加總,可近似地鯉冒形的面積。當(dāng)我們把長方形的寬度設(shè)定得越來癡:計(jì)算結(jié)果就越來越精確,與圖形實(shí)際面積的差距越來越小。如果函數(shù)的積分存在,則長方形寬度趨近于0時(shí),求出的長方形面積總理扇域諭在,且等于圖形的實(shí)際面積。這里渺Q極限的概念。如果函數(shù)存在不連續(xù)的禺'囲該點(diǎn)左右極限都存在,函數(shù)仍是可咂眉蚤瀚點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限的,則它們代表的線條面積總和為0,不影響計(jì)算結(jié)呆。在廣義囲級、侖函數(shù)在無限區(qū)間內(nèi)積分,或某些點(diǎn)的函數(shù)矗溝無窮大,只要積分的極限存在,函數(shù)都是可積的。
12、嚴(yán)格地說,我們只會計(jì)算長方形的面積。從我們介紹的積分的求法看,我們實(shí)際上是把求面積化為了數(shù)列求和的問題,即求數(shù)列的前N項(xiàng)和S(N),在N趨近于無窮大時(shí)的極限。很多時(shí)候,求積分和求無限數(shù)列的和是可以相互轉(zhuǎn)換的。當(dāng)我們深刻地理解了積分的定義和熟練地掌握了積分公式之后,我們同樣可用它來解決相當(dāng)棘手的數(shù)列求和問題。例如:求LIMNa正無窮大時(shí),l/N*[l+l/(l+VN)+V(l+yN)+ooo+V(1+(N-1)/N)+V2]的值