1.7定積分的簡單應用教案

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1、學習目標教學重難點教學過程:教案1.7定積分的簡單應用、田砒mb、用切嚀總課時：課型：新授課教師％.mn.

2、弟課時1.進一步讓學生深刻體會“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲邊梯形的思想方法；2.讓學生了解定積分的幾何意義以及微積分的基木定理；3.初步掌握利用定積分求曲邊梯形的兒種常見題型及方法；4.體會定積分在物理中應用（變速直線運動的路程、變力沿直線做功）。重點曲邊梯形而積的求法難點定積分求體積以及在物理中應用備課札記1、復習1.求Illi邊梯形的思想方法是什么？2.定積分的幾何意義是什么？3.微積分基本定理是什么？

3、2、定積分的應用（一）利用定積分求平面圖形的面積例1.計算由兩條拋物線和〉=疋所圍成的圖形的面積.【分析】兩條拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以兩條Illi線所對應的Illi邊梯形的面積的差得到。解：j>，=^=>x=OSx=l,所以兩1111線的交點為（0,0）、（1,1）,

4、ft

5、積S==fyfxdx-fx2dx,所以S=（（仮-x?）dx!122X31—X2=T333【點評】在直角坐標系下平而圖形的面積的四個步驟:1.作圖象；2.求交點；3.用定積分表示所求的面積；4.微積分基本定理求定積分。鞏固練習計算由曲線y

6、=x3-6x和y=x2所圍成的圖形的面積.例2.計算由直線y=x—4,曲線$=殛以及x軸所圍圖形的而積S.分析：首先畫出草圖（圖1.7—2）,并設法把所求圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的而積問題.與例1不同的是，還帝把所求圖形的面積分成兩部分S：和S2?為了確定岀被積函數(shù)和積分的上、下限，需要求出肓線y=x-4與曲線y=J左的交點的橫處標，直線y二兀-4與x軸的交點.解：作出直線），=兀一4,曲線丫=殛的草圖，所求面積為圖1.7—2陰影部分的面積.解方程組["亦

7、y=x-4得直線y二兀一4與

8、11

9、線『=伍的交點的坐標

10、為（&4）?宜線y=x-4r與X軸的交點為（4,0）.因此，所求圖形的面積為S二s】+s?=￡y/2xdx+[f[lxdx_f（兀一4）dx]40由上而的例題可以發(fā)現(xiàn)，在利用定積分求平血?圖形的面積時，一般要先畫出它的草圖，再借助圖形總觀確定出被積函數(shù)以及積分的上、下限.2龍2龍例3.求

11、11

12、線j=sinxxe[0,——]與直線x=0,x=——,x軸所圍成的圖形面33▲積。InIn答案:S=[3sinxdx=-cosxI練習1、求直線y=2x+3與拋物線j=兀2所圍成的圖形面積。33答案：S=f(2x+3-x2)d

13、x=(x2+3x-—)lx=—丄i33j=-2x+6,則所求圖形的面積為2、求由拋物線y=-x2+4x-3及其在點M(0,-3)和N(3,0)處的兩條切線所圍成的圖形的面積。略解：???十=一2工+4,切線方程分別為j=4x-3.33S=f[(4x-3)-(-x2+4兀一3)dx+￡L(-2x+6)-(-x2?2求曲線j=log2兀與

14、#

15、線j=log2(4-x)以及x軸所圍成的圖形而積。略解：所求圖形的面積為S=(【g(y)-/(丿妙(4-2x2y)dy=(Ay-2x2ylog2^)lg=4-21og2e4、在曲

16、線y=x2(x>0)上的某點A處作一切線使之與曲線以及x軸所圍成的面積為丄?試求：切點A的坐標以及切線方程.12略解：如圖由題可設切點坐標為(x0,x02),則切線方程^y=2x()x-x.2，切線與兀軸的交點坐標為x03-(嚴,0),則由題「

17、J知有S=f2x2dx+Lj(x2-2x0x+x02)dr=-^-=—2山號1212???x()=l,所以切點坐標與切線方程分別為A(l,l),y=2x-總結(jié)：1、定積分的兒何意義是：在區(qū)間［a,〃］上的鼎線j=/(x)與直線x=a>x=b以及x軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和，

18、即^f(x)dx=Sx^^-Sx4lllW.因此求一些曲邊圖形的面積要可以利用定積分的兒何意義以及微積分基木定理，但要特別注意圖形面積與定積分不一定相等，如函數(shù)j=sinxxg［0,2刃的圖像與x軸圍成的圖形的面積為4,而其定積分為0.2、求曲邊梯形面積的方法與步驟：(1)畫圖，并將圖形分割為若干個曲邊梯形；(2)對每個曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限；(3)確定被積函數(shù)；(4)求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和。課堂小結(jié)本節(jié)課主要學習了利用定積分求一些曲邊圖形的面積與體積，即定積分在兒何屮應

19、川，以及定積分在物理學屮的應用，要掌握兒種常見圖形面積的求法，并且要注意定積分的幾何意義，不能等同于圖形的面積，要注意微積分的基木思想的應用與理解。教學反思