比估計(jì)與回歸估計(jì)(I)

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1、第五章比估計(jì)與回歸估計(jì)第一節(jié)比估計(jì)的一般形式第二節(jié)分層比估計(jì)第三節(jié)回歸估計(jì)的一般形式第四節(jié)分層回歸估計(jì)第一節(jié)比估計(jì)的一般形式一、比估計(jì)綜述比估計(jì)是依據(jù)調(diào)查變量與輔助變量間的比率來(lái)對(duì)總體有關(guān)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)和推斷。通常簡(jiǎn)稱比估計(jì)。同簡(jiǎn)單估計(jì)相比，比估計(jì)具有以下特點(diǎn)：(1)在比估計(jì)中，除調(diào)查變量外，還需要了解與調(diào)查變量有關(guān)的輔助變量，并且要求輔助變量的總體均值或總體總和必須事先已知。充分利用輔助變量帶來(lái)的信息估計(jì)總體參數(shù)，比單純用調(diào)查變量資料會(huì)有更好的效果。(2)比估計(jì)方法，對(duì)抽樣調(diào)查單元是有條件的，通常是用組成總體的最基層單位為調(diào)查單元。(3)比估計(jì)只適用于有限總體，因?yàn)橹挥杏?/p>

2、限總體才可能計(jì)算出為比估計(jì)所需要的輔助變量的總體總和與總體均值。(4)當(dāng)每個(gè)單元的調(diào)查變量與輔助變量的比例(一般要求為正比例)十分穩(wěn)定，且變異很小時(shí)，比估計(jì)就具有十分精確的估計(jì)效果，只要抽取少量的樣本單元，就可得到滿意的結(jié)論。(5)在比估計(jì)時(shí)，出于估計(jì)精度方面的要求，選擇輔助變量時(shí)，須與調(diào)查變量的關(guān)系愈密切愈好，至少要求相關(guān)系數(shù)在1/2以上。比估計(jì)中，輔助變量可以是上次普查或調(diào)查時(shí)與調(diào)查變量相應(yīng)的數(shù)據(jù)(即調(diào)查變量的前期或歷史資料)；也可以是對(duì)調(diào)查變量的粗略估計(jì)；或者是表示單元規(guī)模的某個(gè)量。為了充分發(fā)揮比估計(jì)的優(yōu)越性，在應(yīng)用比估計(jì)時(shí)應(yīng)考慮兩條：一是選與調(diào)查變量有較密切的正相

3、關(guān)關(guān)系的變量作為輔助變量。因?yàn)槿绻o助變量與調(diào)查變量的關(guān)系不密切，各自獨(dú)立變化，則對(duì)比估計(jì)起不了應(yīng)有的輔助作用。二是樣本容量要比較大。因?yàn)楸裙烙?jì)是有偏倚的，只有當(dāng)樣本容量n比較大時(shí)，其偏倚才能比較小，比估計(jì)才更加有效。二、總體比率的估計(jì)設(shè)總體有N個(gè)單元，對(duì)每個(gè)單元考慮兩個(gè)指標(biāo)Y（調(diào)查指標(biāo)）和X（輔助變量）。抽取容量為n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，則總體比率R的估計(jì)量為：(樣本比率)總體比率為比率估計(jì)是有偏的，但當(dāng)樣本量增大時(shí)，偏倚逐漸趨于零。其方差為：比率估計(jì)的近似方差的證明當(dāng)足夠大時(shí)，將其代入上式分母，得于是因此，當(dāng)足夠大時(shí)，。這時(shí)注意到是的樣本均值，且的總體均值因此證明：由方差相

4、關(guān)系數(shù)當(dāng)總體方差未知時(shí)，可用樣本方差替代，以估計(jì)方差。此時(shí)：或（未知時(shí)）其中三、總體均值和總和的比估計(jì)當(dāng)調(diào)查變量和輔助變量具有正相關(guān)關(guān)系時(shí)，為了利用輔助變量的信息，可以構(gòu)造總體均值或總和的比估計(jì)量。在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，總體均值和總體總和的比估計(jì)量分別為：其中或必須已知。當(dāng)n充分大時(shí)即與分別是與的近似無(wú)偏估計(jì)。其方差為：其方差估計(jì)量為：四、比估計(jì)量與簡(jiǎn)單估計(jì)量的比較對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，若n足夠大，則當(dāng)時(shí)，有：其中：分別為總體中x與y的變異系數(shù)。證明：∵n足夠大時(shí)，對(duì)比估計(jì)量有：又對(duì)簡(jiǎn)單估計(jì)量，有：∴當(dāng)<0,即時(shí),特別當(dāng)≈(例如當(dāng)x是y的前期數(shù)據(jù)時(shí)有這種可能)時(shí)，只要ρ>1/2，比

5、估計(jì)量就比簡(jiǎn)單估計(jì)量更為精確。結(jié)論：利用比估計(jì)提高抽樣效果的條件是ρ>1/2。五、樣本容量的確定估計(jì)總體比率時(shí)如果允許的最大方差為V，當(dāng)n充分大時(shí)，由得估計(jì)總體均值時(shí)，如果允許的最大方差為V，由于所以：估計(jì)總體總和時(shí)，如果允許的最大方差為，將代入上式，則得：第二節(jié)分層比估計(jì)分層隨機(jī)抽樣中的比估計(jì)量有兩種形式：先構(gòu)造各層比估計(jì)，再加權(quán)平均——各層分別比估計(jì)；先加權(quán)平均，再構(gòu)造比估計(jì)——聯(lián)合比估計(jì)。一、各層分別比估計(jì)各層分別比估計(jì)是先對(duì)各層分別進(jìn)行比估計(jì)，然后按層權(quán)加權(quán)平均，以得出總體參數(shù)的估計(jì)，即：（已知）（已知）在分層隨機(jī)抽樣中，若每層的樣本量都較大，則為Y的近似無(wú)偏估計(jì)

6、。其方差為：當(dāng)各層的總體方差未知時(shí)，方差的估計(jì)量：Y的估計(jì)量的方差(或方差估計(jì)量)乘以即可得出的估計(jì)量的方差(或方差估計(jì)量)。二、聯(lián)合比估計(jì)聯(lián)合比估計(jì)是先按分層隨機(jī)抽樣公式估計(jì)Y和X：然后用這兩個(gè)量的比及已知的X對(duì)Y作估計(jì)：其中：聯(lián)合比估計(jì)只需要已知X，而無(wú)需已知每層的。此時(shí)：分層隨機(jī)抽樣中，若總樣本量n是較大的，則與分別為Y與的近似無(wú)偏估計(jì)，其方差為：其方差估計(jì)量為：三、各層分別比估計(jì)量與聯(lián)合比估計(jì)量的比較從偏倚的角度看，各層分別比估計(jì)量的偏倚較大，從方差的角度看，除了各層比率均相等時(shí)，外，一般只要各層的樣本量均較大時(shí)，各層比估計(jì)更加有效。即有：因此,當(dāng)均大時(shí),用分別

7、比估計(jì)量。否則用聯(lián)合比估計(jì)量較好第三節(jié)回歸估計(jì)的一般形式一、回歸估計(jì)概述回歸估計(jì)就是根據(jù)樣本各單元調(diào)查變量與輔助變量間的關(guān)系構(gòu)造回歸方程，并據(jù)回歸系數(shù)對(duì)總體有關(guān)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。如果在回歸估計(jì)中只有一個(gè)輔助變量，則所進(jìn)行的估計(jì)稱為一元回歸估計(jì)，若同時(shí)采用多個(gè)輔助變量綜合進(jìn)行估計(jì)，則稱為多元回歸估計(jì)。多元回歸估計(jì)比一元回歸估計(jì)效果更好，但更復(fù)雜。這里只介紹一元回歸中的線性回歸估計(jì)?；貧w估計(jì)的主要特點(diǎn)有：(1)回歸估計(jì)充分利用了有關(guān)的輔助變量資料以有效地提高估計(jì)的精度；(2)回歸估計(jì)中要求輔助變量的總體均值或總和事先已知；(3)回歸估