比估計與回歸估計.ppt

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1、前面討論的簡單隨機抽樣和分層抽樣，我們所關(guān)心的參數(shù)都是單指標(biāo)的，給出的估計量也是線性形式。這一章我們將要討論比較復(fù)雜的情況，我們關(guān)心的參數(shù)不再是單指標(biāo)的而是兩個或兩個以上的指標(biāo)。此時，遇到的統(tǒng)計量不再是線性形式，往往呈現(xiàn)出非線性形式，比如兩個變量之比，或呈現(xiàn)變量之間的回歸關(guān)系。第五章比估計與回歸估計所謂回歸關(guān)系就是變量之間的關(guān)系不是確定的，是帶有隨機影響的。比如身高和體重的關(guān)系，身高增加時，一般來說，體重也會增加，但又不能說一定如此。要確定身高和體§1概述一、問題的提出重的關(guān)系，一般用回歸的方法。這類問題首先是由英國統(tǒng)計學(xué)家高爾

2、頓研究兒子的身高與父親身高關(guān)系時提出的，他發(fā)現(xiàn)兒子的身高有回到家族平均身高的趨勢，因而把所得關(guān)系式稱為回歸方程，于是回歸的名詞就沿用下來了。比估計與比例估計輔助變量：用來幫助主要指標(biāo)估計的其他指標(biāo)。二、比估計與回歸估計的作用與使用條件（一）作用：提高估計的精度（二）使用條件1.主要指標(biāo)與輔助變量之間有良好的線性相關(guān)關(guān)系。2.輔助變量的總體總量或均值是已知的。§2比估計設(shè)有一個二元變量的總體：有4個參數(shù)是我們所熟悉的：————指標(biāo)的平均數(shù)——指標(biāo)的方差如果簡單隨機樣本為，則及的估計為：在研究比估計之前，再引進(jìn)一個新的參數(shù)——變量之

3、間的協(xié)方差：(5.1)之間的相關(guān)系數(shù)定義為：(5.2)(5.3)(5.4)在討論比估計之前，先考察總體的兩個平均數(shù)之比，即由于分別是的無偏估計，的估計自然定義為假如或已知，總體平均數(shù)與總體總和的比估計量定義為：(5.5)(5.6)通常的比估計是指(5.5)式與(5.6)式，而則稱為比值的估計。由(5.5)式與(5.6)式可知，與的習(xí)性主要依賴于估計量，因此在不少場合，我們常用來說明。盡管分別是的無偏估計，由于的非線性形式，因此關(guān)于是有偏的，從而關(guān)于也是有偏的。一個合理的估計量，應(yīng)該隨著樣本容量n的增加，估計量的期望與參數(shù)之差應(yīng)該

4、越來越小并漸漸趨于零，即“漸近無偏”比估計是否漸近無偏呢？利用Taylor展開式，有將比估計表示為：(5.7)當(dāng)n相當(dāng)大時，與相當(dāng)接近，而是常數(shù)，又是的無偏估計，因此，實質(zhì)上，所以。(5.7)式的好處不單單告訴我們這一事實，而且告訴了我們，當(dāng)n相當(dāng)大時，，表明可以表示成的平均數(shù)，因此的分布可近似正態(tài)分布因此，可利用近似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布獲得的置信區(qū)間而(5.8)另外(5.9)(5.10)公式(5.8)、(5.9)、(5.10)為我們提供了的估計量的形式。具體計算時，只要將分別換為即可。我們將由此得到的估計量分別記為：那么，的置信水平為

5、的置信區(qū)間分別為：(，)(，)(5.11)下面說明比估計的優(yōu)點。主要針對與來說明，因為它們僅相差一個常數(shù)因子，因此，只需討論其中一個就可以。當(dāng)n充分大時，而欲使，僅需或即(5.12)(，)(5.12)表明，如果變量X與Y正相關(guān)，且相關(guān)程度非常密切的話，那么比估計的精度高于簡單隨機抽樣的精度。如果相關(guān)程度不那么密切（），此時已知的X信息并沒有較多地提供Y的信息，借助X來推斷也許會“幫倒忙”假如X與Y是負(fù)相關(guān)，則更不能采用比估計方法，此時應(yīng)采用所謂乘積估計，即：當(dāng)n充分大時，且滿足：(5.14)(5.13)成立例5.1某縣小麥種植面

6、積為218756畝，分布在N=576個村，為估計全縣產(chǎn)量，隨機無放回地抽取n=24個村，所得數(shù)據(jù)如下123456789101112131415161718192021222324112.0129.1208.2158.5110.2123.3157.7154.298.7112.7125.560.3302361608444298349416428258347351158105.780.5163.098.7137.8141.2152.5142.5136.7153.293.0179.8308217492280378386428390376

7、432261483每個村有兩個指標(biāo)：面積和產(chǎn)量，即：經(jīng)計算可得：所以該縣平均畝產(chǎn)小麥估計為：采用比估計可得和分別為：僅利用數(shù)據(jù)估計該縣小麥總產(chǎn)量與估計量方差分別為：顯然，的方差遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于的方差。理由很清楚！小麥畝產(chǎn)量與土地?fù)碛辛砍尸F(xiàn)正相關(guān)，且相關(guān)程度相當(dāng)密切，因此，在抽樣調(diào)查中對每個村了解有關(guān)產(chǎn)量和土地畝數(shù)，利用已知該縣土地的固有已知數(shù)，能比較精確地推斷總產(chǎn)量。事實上在實際操作中人們正是這樣去做的！現(xiàn)在來求總產(chǎn)量的95％的置信區(qū)間，首先置信區(qū)間為：(，)§2分層抽樣中的比估計1、分別比估計設(shè)總體分為k層，第h層的樣本均值記為，在該

8、層中與的比估計記為，又記和為第h層中指標(biāo)的平均數(shù)與總和，與分別為該層中的方差和協(xié)方差，若換為，換為，則顯然表示該層樣本的方差和協(xié)方差。我們可以得到有關(guān)總體和的分別比估計為：分層抽樣中的比估計有兩種：一是分層之后，先在各層獲得比估計，然后按層權(quán)平均得到總體參數(shù)估計