Hilbert空間中嚴(yán)格偽壓縮映像的Halpern與粘滯迭代序列的收斂定理【文獻(xiàn)綜述】

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1、畢業(yè)設(shè)計文獻(xiàn)綜述信息與計算科學(xué)Hilbert空間中嚴(yán)格偽壓縮映像的Halpern與粘滯迭代序列的收斂定理非線性算子方程屬于非線性泛函分析的范疇,是泛函分析的理論和應(yīng)用的一個重要組成部分,它的理論和方法不僅是線性最優(yōu)化的一個重要部分,而且在微分方程,積分方程,力學(xué),控制論,對策論,經(jīng)濟(jì)平衡理論,交通運輸,社會和經(jīng)濟(jì)模型等許多方面都有著重要的應(yīng)用.因此,研究非線性算子方程解的存在性及迭代算法理論不僅具有重要的理論意義,而且也具有重要的應(yīng)用價值.而非線性算子方程的解往往可以轉(zhuǎn)化為某個非線性算子的不動點問題.自20世紀(jì)初著名的Banach壓縮映像原理

2、和Brouwer不動點定理問世以來,特別是最近二三十年來,由于實際需要的推動和數(shù)學(xué)工作者的不斷努力,這門學(xué)科的理論及應(yīng)用的研究已取得重要的進(jìn)展,并且日趨完善.非線性算子類型很多,包括壓縮映像,非擴(kuò)張映像,偽壓縮映像,漸近非擴(kuò)張映像,漸近偽壓縮映像,單調(diào)映像,增生映像等等.其中最簡單的一類映像是壓縮映像,其定義為:設(shè)是度量空間,映像稱為壓縮映像,如果對于常數(shù),有.壓縮映像的不動點問題,即著名的Banach壓縮映像原理已經(jīng)由Banach在1992年用Picard迭代證明了.非擴(kuò)張映像是壓縮映像的推廣,在求解方程的不動點的問題上起到很重要的作用,它

3、在近代數(shù)學(xué)許多分支都有應(yīng)用,特別是在非線性半群,遍歷定理和單調(diào)算子理論方面有著重要的應(yīng)用.隨著非擴(kuò)張映像不動點理論的發(fā)展,學(xué)者們得出了關(guān)于非擴(kuò)張映像的一系列結(jié)論.其定義為:設(shè)為一個實Banach空間,是的一個非空閉凸子集,自映像,稱為非擴(kuò)張映像,如果,有.而非擴(kuò)張映像的一個重要推廣是嚴(yán)格偽壓縮映像.其定義為:設(shè)是Hilbert空間的非空子集,映射是嚴(yán)格偽壓縮映像,4如果存在常數(shù)有當(dāng)嚴(yán)格偽壓縮映像的定義中的常數(shù)列時,映像稱為非擴(kuò)張映像,如果,稱為偽壓縮映像.可見,嚴(yán)格偽壓縮族嚴(yán)格包括非擴(kuò)張映像族.嚴(yán)格偽壓縮映像介于非擴(kuò)張映像和偽壓縮映像之間.然

4、而,非線性映像的不動點的尋求是學(xué)者們一直所關(guān)心的問題,而對于一些具體的非線性算子方程不動點的求解是十分困難的.因此,數(shù)學(xué)家們通過構(gòu)造迭代序列去逼近不動點來求解這些方程,其中Picard給出了最早的迭代序列,其具體格式為但是Banach壓縮原理證明中所用的Picard迭代方法對于非擴(kuò)張映像卻未必是收斂的,之后Mann受到Banach壓縮映像原理的啟發(fā),在1953年提出了如下的迭代序列稱之為正規(guī)Mann迭代序列.1976年,Ishikawa推廣了Mann迭代格式,得到了如下的Ishikawa迭代序列然而為了證明Mann格式或Ishikawa格式產(chǎn)

5、生的序列強(qiáng)收斂于非擴(kuò)張映像的某個不動點,你往往要求映像的定義域或映像本身具有某種緊性.緊性假設(shè)是很強(qiáng)的條件,能否找到一種新的迭代格式在沒有緊性條件的假設(shè)下,僅依賴與非擴(kuò)張映像本身的性質(zhì)收斂于映像的不動點呢?回答是肯定的.在1967年,Halpern首先引入了如下迭代格式,稱之為Halpern迭代并且Halpern指出如果迭代格式想要收斂到任意非擴(kuò)張映像的不動點,那么必須滿足其中兩個條件和.1977年,lion仍然在Hilbert空間的框架下改進(jìn)了4Halpern的結(jié)果,當(dāng)滿足下列條件時證明了強(qiáng)收斂到的不動點,從參數(shù)限制條件的角度推廣了Halp

6、ern的結(jié)果,1980年,Reich證明了當(dāng)是一致光滑Bananch空間時,Halpern的結(jié)果依然是成立的.但是Reich和Lions的條件都排除了的自然選擇:.這點瑕疵在1992年被Wittmann克服,即滿足條件的同時,只需要再滿足條件:，那么強(qiáng)收斂到的不動點.兩年后,Reich把Wittmann的結(jié)果由Hilbert空間推廣到了一致光滑具有弱序列連續(xù)對偶的Banach空間.1997年,Shioji和Takashshi將Wittmann的結(jié)果推廣到范數(shù)滿足一致Gateaux可微的Banach空間,將映像的定義進(jìn)一步放寬.2002年,Xu

7、從兩方面推廣了Lion的結(jié)果.首先他減弱了Lion結(jié)果中的條件,把分母中的替換成了.另一方面,他在一致光滑Banach空間框架下利用Halpern迭代格式得到了非擴(kuò)張映像的強(qiáng)收斂定理.2000年,Moudafi引入粘滯迭代方法逼近給定非擴(kuò)張映像的特定不動點,不僅利用這種方法研究非線性算子方程的不動點,而且用來研究變分不等式解的問題.2004年,Xu改進(jìn)了Moudafi的結(jié)果,在一致光滑的Banach空間中給出了粘滯迭代的強(qiáng)收斂定理.2005年,Song和Chen對Xu的結(jié)果進(jìn)行了推廣與改進(jìn).2006年,Marino和Xu研究了Hilbert空

8、間中非擴(kuò)張映像的不動點的迭代逼近問題.同年,Martinez和Xu在Hilbert框架下借助于度量投影,針對非擴(kuò)張映像修正了Ishikawa迭代程序.2009年,H