漸近非擴(kuò)張映像與漸近擬非擴(kuò)張映像的迭代逼近問(wèn)題【文獻(xiàn)綜述】

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1、畢業(yè)設(shè)計(jì)文獻(xiàn)綜述信息與計(jì)算科學(xué)漸近非擴(kuò)張映像與漸近擬非擴(kuò)張映像的迭代逼近問(wèn)題非線性算子方程屬于非線性泛函分析的范疇,是泛函分析理論和應(yīng)用的一個(gè)重要組成部分,它們的理論和方法不僅是線性最優(yōu)化的一個(gè)重要部分,而且在微分方程,積分方程,力學(xué),控制論,對(duì)策論,經(jīng)濟(jì)平衡理論,交通運(yùn)輸,社會(huì)和經(jīng)濟(jì)模型等許多方面都有著重要的應(yīng)用.因此,研究非線性算子方程解的存在性及迭代算法理論不僅具有重要的理論意義,而且也具有重要的應(yīng)用價(jià)值.非線性算子的不動(dòng)點(diǎn)理論在建立各類(lèi)方程解的存在唯一性問(wèn)題中起著重要的作用.1895-1900年間

2、,法國(guó)數(shù)學(xué)家H.Poincare在代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中使用了不動(dòng)點(diǎn)概念.1910年,L.E.J.Brouwer證明了有限維空間中多面體上的連續(xù)映射至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).1922年,G.D.Birkhoff.Kellogg作出了一些改進(jìn)和應(yīng)用,而波蘭數(shù)學(xué)家Banach更一般地處理了這個(gè)問(wèn)題,并提出了著名的Banach壓縮映像原理.Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理設(shè)是中的某有界凸閉集,連續(xù),則在內(nèi)必有不動(dòng)點(diǎn).Banach壓縮映像原理設(shè)是完備的距離空間,是壓縮映像,則在中具有唯一的不動(dòng)點(diǎn),即存在唯一的,使.自Banach壓縮映像原

3、理和Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理問(wèn)世以來(lái),特別是最近二三十年來(lái),由于實(shí)際需要的推動(dòng)和數(shù)學(xué)工作者的不斷努力,這門(mén)學(xué)科的理論及應(yīng)用研究已取得重要的進(jìn)展,并且日趨完善.而非線性算子的類(lèi)型很多,其中漸近擬非擴(kuò)張映像與漸近非擴(kuò)張映像是兩類(lèi)非常重要的非線性映像.非擴(kuò)張映像是壓縮映像的一種推廣,在求解方程的不動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題上起到很重要的作用,它在近代數(shù)學(xué)許多分支都有應(yīng)用,特別是在非線性半群,遍歷定理和單調(diào)算子理論方面有著重要的應(yīng)用.隨著非擴(kuò)張映像不動(dòng)點(diǎn)理論的發(fā)展,學(xué)者們得出了關(guān)于非擴(kuò)張映像的一系列結(jié)論.其中,非擴(kuò)張映像的定義為

4、:設(shè)是Banach空間的非空閉凸子集,則稱(chēng)為非擴(kuò)張映像,如果對(duì)任意的,有.若是一致凸Banach空間的非空閉凸子集,3那么每一個(gè)非擴(kuò)張映像有不動(dòng)點(diǎn).1955年,Krasnoselseii證明了如下的關(guān)于非擴(kuò)張映像的收斂定理.定理KR設(shè)是一致凸Banach空間,是的有界閉凸子集,若是非擴(kuò)張映像,是緊集,且是中任意給定的點(diǎn),則有下列定義的映像,,序列是由下列定義的,則序列強(qiáng)收斂于的不動(dòng)點(diǎn).1957年,Scheafer在定理KR的條件下,證明了如下定義的序列:,強(qiáng)收斂于的不動(dòng)點(diǎn).漸近非擴(kuò)張映像是非擴(kuò)張映像的推廣

5、,由Goebel和Kirk在1972年首先引入的,漸近非擴(kuò)張映像的定義是:映像稱(chēng)為漸近非擴(kuò)張映像.如果,存在序列滿足.同時(shí)給出了下面的定理:令是一致凸Banach空間,且是的有界閉凸子集.則每個(gè)漸近非擴(kuò)張映像有不動(dòng)點(diǎn).漸近擬非擴(kuò)張映像的定義是:映像稱(chēng)為漸近擬非擴(kuò)張.如果存在一序列滿足條件,且,使得對(duì)于(是不動(dòng)點(diǎn)集合),成立.然而,非線性映像的不動(dòng)點(diǎn)的尋求是學(xué)者們一直所關(guān)心的問(wèn)題,而對(duì)于一些具體的非線性算子方程不動(dòng)點(diǎn)的求解是十分困難的.因此,3數(shù)學(xué)家們通過(guò)構(gòu)造迭代序列去逼近不動(dòng)點(diǎn)來(lái)求解這些方程,其中Pica

6、rd給出了最早的迭代序列,其具體格式為:但是Banach壓縮原理證明中所用的Picard迭代方法對(duì)于非擴(kuò)張映像卻未必是收斂的,之后Mann受到Banach壓縮映像原理的啟發(fā),在1953年提出了如下的迭代序列:稱(chēng)之為正規(guī)Mann迭代序列.1976年,Ishikawa推廣了Mann迭代格式,得到了如下的Ishikawa迭代序列:相比于Mann迭代序列,Ishikawa迭代序列更為一般化且包含了Mann迭代序列(當(dāng)上述的取為零時(shí),Ishikawa迭代序列就轉(zhuǎn)化成了Mann迭代序列).在一般情況下,無(wú)論是Mann

7、迭代序列還是Ishikawa迭代序列對(duì)非擴(kuò)張映像和漸近非擴(kuò)張映像只有弱收斂.但是若在對(duì)算子外加完全連續(xù)或?qū)霞泳o性等限制條件時(shí),Mann迭代序列或Ishikawa迭代序列對(duì)非擴(kuò)張映像和漸近非擴(kuò)張映像可獲得強(qiáng)收斂定理.因此,近年來(lái)很多專(zhuān)家學(xué)者致力于修正Mann迭代序列和修正Ishikawa迭代序列,從而在沒(méi)有對(duì)算子外加其他限制的條件下,對(duì)于非擴(kuò)張和其他更為廣泛的壓縮映像等獲得強(qiáng)收斂定理.2003年,田有先在文獻(xiàn)[9]中研究了漸近非擴(kuò)張映像迭代序列的穩(wěn)定性,給出了在一致凸的Banach空間內(nèi),漸近非擴(kuò)張映像

8、的Mann迭代序列的收斂性與-穩(wěn)定性的證明.2007年,金曉菁和徐小平在文獻(xiàn)[10]中提出了以下的結(jié)論如果是一致凸Bananch空間的非空子集,是漸近非擴(kuò)張的,且滿足條件.序列是由MIS生成的,,則強(qiáng)收斂到的不動(dòng)點(diǎn).其中MIS為修改的Ishikawa迭代.2009年,文獻(xiàn)[11]中,李智,竹林和崔云安證明了在實(shí)Banach空間中當(dāng)T是漸近擬非擴(kuò)張映射時(shí),三步迭代具誤差序列收斂到T的不動(dòng)點(diǎn).本文將通過(guò)構(gòu)造漸近非擴(kuò)張映像的修正Ma