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《矢量場的環(huán)量及旋》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、§1.4矢量場的環(huán)量及旋度1、環(huán)量矢量場沿閉合線的線積分從變力作功問題引入矢量場環(huán)量的概念。一段積分路徑及其細(xì)分θiΔliFiba‘‘‘‘‘‘‘l若將F(r)看成是任意的矢量場，上述積分則代表矢量場F(r)沿路徑l的標(biāo)量線積分。矢量場的環(huán)量是上述矢量場線積分概念推廣應(yīng)用于閉合路徑的結(jié)果，因此，F(xiàn)(r)的環(huán)量為環(huán)量不為零的矢量場叫做旋渦場，其場源稱為旋渦源，矢量場的環(huán)量有檢源作用。環(huán)量為零的矢量場叫做保守場或守恒場，靜電場就是保守場。FnFtF環(huán)量的計算水流沿平行于水管軸線方向流動C=0，無渦旋運動流體做渦旋運動C?0，有產(chǎn)生渦旋的源例：流速場在直角坐標(biāo)系中，設(shè)F(x,y,z)
2、=Fx(x,y,z)ex+Fy(x,y,z)ey+Fz(x,y,z)ezdl=dxex+dyey+dzez則環(huán)量可寫成過點P作一微小有向曲面?S,它的邊界曲線記為l,曲面的法線方向與曲線繞向成右手螺旋關(guān)系。當(dāng)?S?點P時,存在極限上式稱為環(huán)量密度過點P的有向曲面?S取不同的方向，其環(huán)量密度將會不同。2、旋度（1）環(huán)量密度面元法向矢量與周界循行方向的右手關(guān)系。Pl?S（2）旋度P點的旋度定義為該點的最大的環(huán)量密度，并令其方向為en,即旋度與環(huán)量密度的關(guān)系：投影旋度直角坐標(biāo)式的推導(dǎo)于是得旋度的x方向分量：Fzl1xyzΔsx(x,y,z)ΔyΔzFyFz(x,y+Δy,z)Fy(
3、x,y,z+Δz)o推導(dǎo)旋度的直角坐標(biāo)式所取的面元和它的圍線同理可求得curlF的y，z分量所以或用?算符將其寫成(3）旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點的函數(shù)。點P的旋度的大小是該點環(huán)量密度的最大值。在矢量場中，若??F=J?0,稱之為旋度場(或渦旋場)，J稱為旋度源密度(或渦旋源密度)；點P的旋度的方向是該點最大環(huán)量密度的方向。若矢量場處處??F=0，稱之為無旋場或保守場。(4）有關(guān)旋度的幾個關(guān)系式相對位置矢量的旋度為零，即f(r)與F(r)之積fF的旋度有恒等式f(R)與R之積的旋度，有證明：例4已知F=(2x?y?z)ex?(x+y?z2)ey+(3x?2
4、y+4z)ez試就圖所示xoy平面上以原點為心、3為半徑的圓形路徑，求F沿其逆時針方向的環(huán)量。解在xoy平面上，有F=(2x?y)ex+(x+y)ey+(3x?2y)ez，dl=dxex+dyey設(shè)x=3cos?，y=3sin?則xy(x,y)l3?o例5求矢量場F=xyz（ex?ey+ez)在點M(1,3,2)處的旋度。解：作業(yè)：1.8
