求數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)的常用方法

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1、萬方數(shù)據(jù)求數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)的常用方法陳志英(南通市冠今中學(xué)，江蘇海門226100)數(shù)列的最大與最小項(xiàng)問題是一類常見的數(shù)列問題．也是函數(shù)最值問題的一個(gè)重要類型，問題的解答大致有下面一些方法。1．利用函數(shù)圖像將數(shù)列視為函數(shù)tnf(x)，根據(jù)f(x)的類型，并作出相應(yīng)的函數(shù)圖像，求出f(n)的最值。這是最直觀的求數(shù)列最大項(xiàng)的方法。例1．{a。)的通項(xiàng)公式為a。----11‘-5n+4，n為何值時(shí)，an有最小值?并求出最小值。解：因?yàn)閍n=n2-5n“：(n一妻)2一要，數(shù)列中的項(xiàng)是函數(shù)f(x)=(x一尋)2一手上的一個(gè)個(gè)孤立點(diǎn)，從而當(dāng)n=2或3時(shí)，釓有最小值為

2、一2。例2．已知％：n-v雯一7_(1ieN’)，則在數(shù)列I～}的前30項(xiàng)中最n一、／98大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是。解：因?yàn)閍n：旦塑：l+立竺墅盟，”n一、歷8n一、／98數(shù)列中的項(xiàng)是函數(shù)f(x)：1+!墮二!里x一、／兩點(diǎn)，sir(x)的圖像(如圖)是由y=!墮二塑右移、／甄個(gè)單位，再上移lX個(gè)單位得到的，因此f(x)在(一*，V-off)上是減函數(shù)，在(x／-Cg，+∞)上也是減函數(shù)，從而可知當(dāng)n=9時(shí)a。最小，n=101對(duì)a。最大。所以最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別為a?a9。對(duì)于這些熟悉的一些基本初等函數(shù)型的數(shù)列，我們可以用此法加以解決。但對(duì)于我們無法作出圖像的數(shù)

3、列問題．必須通過其他方法加以解決。2．利用函數(shù)的單調(diào)性數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，一種定義在正整數(shù)集(或其子集)上的函數(shù)．因此也具有單調(diào)性，我們可用函數(shù)的思想和方法去研究。對(duì)于數(shù)列{al而言，若ana葉。，則其為遞減數(shù)列；若a。=‰，，則其為常數(shù)列。下面舉例說明運(yùn)用單調(diào)性求出一些常見數(shù)列的最值問題。-^n，-、Ha．已知無窮數(shù)列k}的通項(xiàng)公式a。=旦墜業(yè)，試判斷此“11“數(shù)列是否有最大項(xiàng)。若有，求出第幾項(xiàng)最大；若沒有，說明理由。上的一個(gè)個(gè)孤立解法一：‰廣a產(chǎn)10”。(n+2)10n(n+1)10。(9一n)～：：一11”’1

4、1。ll”1數(shù)的各種運(yùn)算都具有了幾何意義。因此復(fù)數(shù)解題時(shí)，筆者常以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合，使問題的解決更加形象。例4：復(fù)數(shù)z．=1+2i，z2=-2+i，z3=一1-2i，它們?cè)趶?fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)。7弋Bf℃．)o’C解法l：如圖，設(shè)復(fù)數(shù)z．，z，，Z3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C，正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi(x，Y∈R)，則：A--g=O--盎一i豇=(x+yi)一(1+2i)=(x一1)+(y-2)i，a--d=石苞一石營(yíng)=(一1—2i)一(-2+i)=1—3i．·．·j【西=配。．·．(x

5、—1)+(y一2)i=1—3i，則／I，x一-2l：=一13，解得{；：：l。故點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2一i。注：利用向星運(yùn)算法則求復(fù)數(shù)關(guān)鍵是找出所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，然后根據(jù)幾何意義求出復(fù)數(shù)。解法2：如圖，設(shè)復(fù)數(shù)z．，z’，Z3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C，正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為x+yi(x，YER)。‘．’點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，．·．原點(diǎn)O為正方形的中心。則B、D關(guān)于0點(diǎn)對(duì)稱，即(一2+i)+(x+yi)：0，．‘．x=2，y=-I。故D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2一i。點(diǎn)評(píng)：解法l的關(guān)鍵足要善于發(fā)現(xiàn)問題中可能被利用的條件。尋找最佳的解題方法；解法2利用正方形是對(duì)

6、稱圖形，數(shù)形結(jié)合。解題思路巧妙，實(shí)質(zhì)是運(yùn)用了平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)。五、函數(shù)與方程的思維策略函數(shù)與方程思想的實(shí)質(zhì)足提取問題的數(shù)學(xué)特征。用聯(lián)系變化的觀點(diǎn)看待數(shù)學(xué)對(duì)象，建立函數(shù)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化．以達(dá)到解決問題的目的。例5：(2008上海春，16)已知z∈C，且Iz一2—2il=l，i為虛數(shù)單位．則Iz+2—2il的最小值是。解：i殳z=x+yi(x，Y∈R)，則(x一2)‘(y一2)名l。令x一2=cos0，y一2=sinO，則x=2+cosO，y=2+sin0。．’．Iz+2—2i1=V(x+2)‘+(y+2)‘=、／8cosO+17>

7、13，則Iz+2—2il的最小值是3。另外，本題考慮幾何意義也可速解：z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為以(2，2)為圓心，l為半徑的圓，Iz+2—2il表示z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)(一2，2)的距離．則Iz+2—2il的最小值是3。例6：已知關(guān)于x的方程x。+玨“+3i=o有實(shí)數(shù)根，求復(fù)數(shù)z的模的最小值。解：設(shè)xER且x≠o，則z=一三2生翌-_(x+!)一三i，XIzI=麗=懌≥3訂。當(dāng)且僅當(dāng)x2-萼，即x=±、／了時(shí)取等號(hào)，故IzI血=3V'2-。X點(diǎn)評(píng)：虛系數(shù)方程有實(shí)根，不能得出A=z2-16—12i，>0，只說明x可以取實(shí)數(shù)，故虛系數(shù)一元二次方程不能用判別式判斷方程是否有實(shí)根。

8、71萬方數(shù)據(jù)注重教學(xué)方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)吳翠紅(大豐市小海中學(xué)，