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1、數(shù)列的最大與最小項問題學(xué)習(xí)要點：數(shù)列的最大與最小項問題是一類常見的數(shù)列問題，也是函數(shù)最值問題的一個重要類型，問題的解答大致有下面一些方法：1．直接求函數(shù)的最大值或最小值，根據(jù)的類型，并作出相應(yīng)的變換，運用配方、重要不等式性質(zhì)或根據(jù)本身的性質(zhì)求出的最值，也可以考慮求導(dǎo)解決，但必須注意，不能直接對求導(dǎo)（因為只有連續(xù)函數(shù)才可導(dǎo)），而應(yīng)先對所在的函數(shù)求導(dǎo)，得到的最值，然后再分析的最值.2．考察的單調(diào)性：，然后根據(jù)的單調(diào)判斷的最值情況.3．研究數(shù)列的正數(shù)與負(fù)數(shù)項的情況，這是求數(shù)列的前n項和的最大值或最小值的一種重要方法.[例1]首項為正數(shù)的等差數(shù)列，它的
2、前4項之和與前11項之和相等，問此數(shù)列前多少項之和最大？[解法一]記的前n項和為，[解法二]由解法二知是首項為正數(shù)的單調(diào)遞減數(shù)列，∴所有的正數(shù)項的和最大，中前7項為正數(shù)項，從第9項開始各項為負(fù)數(shù)，而最大.[評析]解法一抓住了是二次函數(shù)的特點，通過配方法直接求出了最大項.而解法二通過考察的單調(diào)性與正、負(fù)項的情況得到最大項.[例2]設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，已知（I）求公差d的取值范圍；（II）指出中哪一個最大？說明理由；（III）指出中哪一個最?。空f明理由.[解析]（I）①，②，由①、②得（II）由①、②得為遞減數(shù)列，（III）這六項為負(fù)值，而其余
3、各項均為正數(shù)，的最小項只可能是這六項中的一項，最小.[評析]通過討論數(shù)列中的正、負(fù)項（并結(jié)合討論單調(diào)性）是求數(shù)列前n項和的最大、最小值的重要方法.[例3]設(shè)Z，當(dāng)n是什么數(shù)時，取最小值，并說明理由.[解析]（1）當(dāng)（2）當(dāng)時，考察的單調(diào)性，①當(dāng)單調(diào)遞增，②單調(diào)遞增；而當(dāng)綜上，當(dāng)n=50或n=51時，[評析]命題中的數(shù)列是比較特殊的數(shù)列，雖然解題方案上還是通過考察數(shù)列的單調(diào)性，但具體過程更靈活.[例4]已知函數(shù)是奇函數(shù)，正數(shù)數(shù)列滿足：（I）若的前n項和為；（II）若中的項的最大值和最小值.[解析]（I）由條件得由條件得（II）[評析]由于是關(guān)于的
4、二次函數(shù)，所以選擇配方法完成，但與普通二次函數(shù)不同的是函數(shù)的定義域不是連續(xù)的數(shù)集，而是由間斷的實數(shù)構(gòu)成，這也是數(shù)列中才會出現(xiàn)的特點.[例5]求數(shù)列的最大項與最小項.[解析]通過計算可知：當(dāng)時單調(diào)遞減，由此可得最大項與最小項，但是用一般方法：卻證明不了的單調(diào)性.考察函數(shù)的單調(diào)性，∵lnlnx，兩邊對x求導(dǎo)得：[解法二]用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)即時命題也成立，.下同解法一.[評析]這是比較困難的問題，因此采取了與前面一些例題不同的特殊方法來證明數(shù)列的單調(diào)性.《訓(xùn)練題》一、選擇題：1．?dāng)?shù)列中（）A．最大，而無最小項B．最小，而無最大項C．有最大項，但不是D
5、．有最小項，但不是2．已知的最大項是（）A．第12項B．第13項C．第12項或第13項D．不存在3．?dāng)?shù)列的通項公式是中最大項的值是（）A．B．108C．D．1094．已知數(shù)列的通項公式為（）A．存在最大項與最小項，且這兩項的和大于2B．存在最大項與最小項，且這兩項的和等于2C．存在最大項與最小項，且這兩項的和小于2D．既不存在最大項，也不存在最小項5．設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項和，且，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．B．C．D．的最大值6．設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，并且存在一個大于2的自然數(shù)k，使則（）A．遞增，有最小值B．遞增，有最大值C．遞減，有最
6、小值D．遞減，有最大值二、填空題：7．設(shè)的最大值為8．是等差數(shù)列，是其前n項和，則在中最小的是9．等比數(shù)列中，首項表示它的前n項的乘積，則最大時，n=10．設(shè)等差數(shù)列滿足：最大時，n=三、解答題：11．已知數(shù)列的通項公式的前多少項之和最大？并求其最大值.（取）12．設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知中的最大值.13．?dāng)?shù)列為正項等比數(shù)列，它的前n項和為80，前n項中數(shù)值最大的項為54，而前2n項的和為6560，試求此數(shù)列的首項和公比q.14．已知數(shù)列中：，（I）求（II）若最小項的值；（III）設(shè)數(shù)列{}的前n項為，求數(shù)列{}的前n項和.15．?dāng)?shù)列中，.（
7、I）若的通項公式；（II）設(shè)的最小值.《答案與解析》一、1．C2．C3．B4．A5．C6．D二、7．8．9．1210．2011．的等差數(shù)列，而所有的正數(shù)項之和最大，令12．為最大值.13．（也可由公式得到），為最大項，即14．（I）（II）（III）①當(dāng)時，②當(dāng)15．（I）①當(dāng)n為奇數(shù)時，②當(dāng)n為偶數(shù)時，（II）①當(dāng)n為偶數(shù)時，=（3×1－54）+（3×3－54）+…+[3（n－1）－54]=3[1+3+5+…+（n－1）]②
