～第3講　數(shù)值運(yùn)算基礎(chǔ)

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1、第三講數(shù)值運(yùn)算基礎(chǔ)——matlab具有出色的數(shù)值計(jì)算能力，占據(jù)世界上數(shù)值計(jì)算軟件的主導(dǎo)地位數(shù)值運(yùn)算的功能多項(xiàng)式運(yùn)算線性方程組數(shù)值統(tǒng)計(jì)線性插值和擬合matlab語言把多項(xiàng)式表達(dá)成一個(gè)行向量，該向量中的元素是按多項(xiàng)式降冪排列的。f(x)=anxn+an-1xn-1+……+a0可用行向量p=[anan-1……a1a0]表示poly——產(chǎn)生特征多項(xiàng)式系數(shù)向量特征多項(xiàng)式一定是n+1維的特征多項(xiàng)式第一個(gè)元素一定是1一、多項(xiàng)式運(yùn)算例:a=[123;456;780];p=poly(a)p=1.00-6.00-72.0

2、0-27.00p是多項(xiàng)式p(x)=x3-6x2-72x-27的matlab描述方法p1=poly2sym(p,‘x’)—顯示數(shù)學(xué)多項(xiàng)式的形式p1=x^3–6*x^2–72*x–272.多項(xiàng)式求值有兩種求多項(xiàng)式值的函數(shù)：polyval與polyvalm，前者是代數(shù)多項(xiàng)式求值，后者是矩陣多項(xiàng)式求值.(1)polyval函數(shù):y=polyval(p,x)若x為一數(shù)值，則求多項(xiàng)式在該點(diǎn)的值；若x為向量或矩陣，則對(duì)向量或矩陣中的每個(gè)元素求其多項(xiàng)式的值。例3-1已知多項(xiàng)式x^4+8x^3-10，分別取x=1.2和

3、一個(gè)2×2矩陣為自變量計(jì)算它的值.eg3-1-22.多項(xiàng)式求值(2)polyvam函數(shù):y=polyvam(p,x)本函數(shù)要求x為方陣，它以方陣為自變量求多項(xiàng)式的值.設(shè)A為方陣，P代表多項(xiàng)式x^3-5x^2+8，那么polyvalm(P,A)的含義是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))而polyval(P,A)的含義是：A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))例3-2仍以多項(xiàng)式x^4+8x^3-10為例，取一個(gè)2×2矩陣為自變量分別用polyval和polyval

4、m計(jì)算該多項(xiàng)式的值.eg3-1-23.roots——求多項(xiàng)式的根a=[123;456;780];p=poly(a)p=1.00-6.00-72.00-27.00%a的特征多項(xiàng)式系數(shù)r=roots(p)r=12.12-5.73-0.39——顯然r是矩陣a的特征值當(dāng)然我們可用poly命令將根返回為多項(xiàng)式形式p2=poly(r)p2=1.00-6.00-72.00-27.00matlab規(guī)定多項(xiàng)式系數(shù)向量用行向量表示，一組根用列向量表示。根多項(xiàng)式例3-3用求特征值的方法解方程3x5-7x4+5x2+2x-1

5、8=0eg3-3命令如下：p=[3-7052-18];A=compan(p)%p的伴隨矩陣x1=eig(A)%求A的特征值x2=roots(p)%直接求多項(xiàng)式p的零點(diǎn)即方程p(x)=0的解多項(xiàng)式的根多項(xiàng)式系數(shù)構(gòu)成的伴隨矩陣的特征值4.conv多項(xiàng)式乘運(yùn)算例:a(x)=x2+2x+3;b(x)=4x2+5x+6;c=(x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=[123];b=[456];c=conv(a,b)=conv([123],[456])c=4.0013.0028.0027.0018.00p=po

6、ly2sym(c)p=4*x^4+13*x^3+28*x^2+27*x+185.deconv多項(xiàng)式除運(yùn)算a=[123];c=[4.0013.0028.0027.0018.00]d=deconv(c,a)d=4.005.006.00[d,r]=deconv(c,a)余數(shù)c除a后的整數(shù)6.多項(xiàng)式微積分命令格式：polyder(p):求p的微分polyder(a,b):求多項(xiàng)式a,b乘積的微分[p,q]=polyder(a,b)：求a/b的微分,分子存入p,分母存入qpolyint(p)：求多項(xiàng)式p的積分例

7、：a=[12345];poly2sym(a)ans=x^4+2*x^3+3*x^2+4*x+5b=polyder(a);poly2sym(b)ans=4*x^3+6*x^2+6*x+4c=polyint(b);poly2sym(c)ans=x^4+2*x^3+3*x^2+4*x二、代數(shù)方程組求解對(duì)于方程組ax=b，a為am×n矩陣，有三種情況：?當(dāng)m=n時(shí)，此方程稱為“恰定”方程組?當(dāng)m>n時(shí)，此方程稱為“超定”方程組?當(dāng)m

8、很方便地解上述三種方程1.恰定方程組的解方程ax=b(a為非奇異)x=a-1b矩陣逆兩種解:x=inv(a)?b—采用求逆運(yùn)算解方程x=ab—采用左除運(yùn)算解方程方程ax=ba=[12;23];b=[8;13];?x=inv(a)*b?x=abx=x=2.002.003.003.00=ax=b例:x1+2x2=82x1+3x2=132.超定方程組的解方程ax=b,m>n時(shí)此時(shí)不存在唯一解方程解(a'a)x=a'bx=(a'a)-1a'b——求逆法x=a