求函數(shù)最值常見錯誤剖析(吳惠清)

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1、求函數(shù)最值常見錯誤剖析清遠(yuǎn)市第一中學(xué)吳惠清求函數(shù)最值時，極易忽視某些或明或暗的條件，導(dǎo)致解題錯誤,現(xiàn)例舉剖析，以供求函數(shù)最值時作為借鑒與參考。1忽視正弦、余弦函數(shù)的有界性例1求函數(shù)y=-4sin2x+12sinx-7的最大值。錯解y二-4sir?x+12sinx-7二-(2sinx-3)'+2W2/.y^x-2剖析該解法忽視了止弦函數(shù)y二sinx的有界性致錯。事實上2sinx=3,即sin兀=—>1不可能。2正解y=-4sin2x+12sinx-7=-(2sinx-3)2+2sin%<1???當(dāng)sinx二1時,二12忽視換元時對新元的限制例2求函數(shù)y=兀+丁2兀一1

2、的最小值。錯解令yj2x-l=t,貝Ijx=-(r2+1)2'7.??y=-t2+r+-=-(r+l)2>0Avtin=0222V7剖析上面解法當(dāng)t二T時，y=0,而由t=a/2x-1>0知t二T不可能，所以該解法錯誤，其忽視了換元時對新元t的限制范圍。正解令如一二/,貝ijx=-(r2+l)(t20)1211/八2V=—t+/=—(Z+1)JtMOAt+1^1?：y=*('+1)2n*???當(dāng)t=o時心=￡?說明：用換元法求函數(shù)的最值是常用方法，但切記換元時要限制新元的范圍。3忽視相關(guān)變量的相互限制例3若sinx+siny=l,求T=sinx-cos-1

3、>'<1?：OWsinyW1???當(dāng)siny二*時，Tmin=-

4、；當(dāng)siny=O或時，Tmax=04忽視公式成立的條件11（jr例4求函數(shù)）；=—sin2a++1Q

5、siny

6、

7、T=sin2y-siny=.iYsiny——2丿11錯解1y=—sin2a++1(4sin2a>2J丄sin2a?—-——+1=2V4sin2a??Ymin-2?剖析這里忽視了應(yīng)用基本不等式求最值時對等號成立條件的檢驗，事實上,當(dāng)丄sin2a=——時，sin2a=2,這是不可能的，故解4sin2a題出錯。錯解2y=丄sin2a+4l］、2sin2a丿+—^+18sin2an丄x2」sin2a?1——+14V2sin8sin2a，返+丄+1=返+口48x148V215)min=+48剖析這里雖然注意到兩處等號成立的條件滿足sin2a的取值范圍（0,1],但因兩處等號成

8、立的條件不相同，故y取不到最小值芻+券，從而解題出錯。+亠+1(1、—sin2a+4-x2Jsin2a?—*—+—-—+14Vsin2a4sin2a33、339—————24sin2a~24~4當(dāng)且僅當(dāng)sin2a=1時，兩處等號同時成立,9?min=T?例5求y二+4+的最小值.J/+4錯解右22,??Ymin-2?剖析上面解法屮，因為當(dāng)且僅當(dāng)77TZ二「^=時取等號，而J/+4此時x2=-3無實數(shù)解，同樣犯了運用基本不等式求最值時等號不成立的錯誤，事實上,這題不能用基本不等式求解，否則，結(jié)果將是錯誤的，因此，這類題應(yīng)多加注意。正解1設(shè)

9、t二+4,則te［2,+8］冃y二f(t)二t+1,在［2,+t00)上任取ti

10、?9例6求函數(shù)y=x+-的最值。X錯解y=x+-^2L--=6,故函數(shù)有最小值6,無最大值。xVx剖析這里忽視了

11、基本不等式x+yM2歷中x、y皆為正數(shù)條件。正解yW-6或y26,故函數(shù)既無最小值又無最大值。注意:運用基木不等式x+y$2亦不求函數(shù)最值時，只有同時滿足下面三個條件才可求得：①x、y皆為正數(shù)；②當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號；③“x+y”或“xy”其屮一個必為定值。同樣，運用基本不等式x+y+z23嶺亦求函數(shù)最值時亦然。5忽視對一元二次方程二次項系數(shù)的討論例7求函數(shù)y=的最值。2x2+4x4-3錯解原函數(shù)化為2yx2+4yx+3y-5=0,???此關(guān)于y的方程有解/.A>0,即(4y)2-8y(3y-5)^0解之得0WyW5,故函數(shù)有最大值5,最小值0。剖析當(dāng))=0時