(精選)求函數(shù)最值常見錯誤剖析

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1、求函數(shù)最值常見錯誤剖析清遠(yuǎn)市第一中學(xué)吳惠清求函數(shù)最值時，極易忽視某些或明或暗的條件，導(dǎo)致解題錯謀，現(xiàn)例舉剖析，以供求函數(shù)最值時作為借鑒與參考。1忽視正弦、余弦函數(shù)的有界性例1求函數(shù)y=-4sin2x+12sinx-7的最大值。錯解y=-4sin2x+12sinx-7=-(2sinx-3)'+2W2/.ymax=2剖析該解法忽視了正弦函數(shù)y二sinx的有界性致錯。事實(shí)上2sinx=3,BPsinx=—>1不可能。2正解y二-4sir?x+12sinx-7二-(2sinx~3)2+2sinx<1?:當(dāng)sinx=l時，ymax=12忽視換元時對新元的限制例2求函數(shù)y=兀+丁2兀-

2、1的最小值。錯解令a/2x-1=t,則x=i(r2+l)2'7y=—t2+/H=—(r+1)~n0??Ymin二0222剖析上面解法當(dāng)t二T時，y=0,而由f=丁2兀一1知t二一1不可能，所以該解法錯誤，其忽視了換元時對新元t的限制范圍。正解令V2x-1=r,貝ijx=l(r2+l)(t^O)2'71.=—廠+(+2???t20??y=*"+1)2???當(dāng)t二0時ymin=?說明：用換元法求函數(shù)的最值是常用方法，但切記換元時要限制新元的范圍。3忽視相關(guān)變量的相互限制例3若sinx+siny=l,求T=sinx-cos2y的最值。錯解由已知得sinx二l-siny,代入T】

3、

4、i并變形得T=sin2y-siny、2(.1siny——l.-2丿——

5、sin)*Wl,但忽視了已知條件sinx+siny二1中的x、y的相互限制導(dǎo)致錯誤。由于x、y的相互限制，因此決不能孤立地確定各自的范圍。正解由已知得sinx二l-siny,代入T中變形，得T=sin2y-siny4-1

6、2a211A錯解1y=—sin2a++1<4sin2a>2-/—sin2a?————+1=2V4sin2a??Ymin-2?剖析這里忽視了應(yīng)用基本不等式求最值時對等號成立條件的檢驗(yàn)，事實(shí)上,當(dāng)丄sin2a=一-一吋，sin2a=2,這是不可能的，故解4sin2a題出錯。錯解2—sinla+4l2sin2a)+亠+18sindx2jsi??亠+厶+14V2sin2a8sin2an返+丄+1=—+_48x1488x1剖析這里雖然注意到兩處等號成立的條件滿足sin2a的取值范圍（0,1],但因兩處等號成立的條件不相同，故y取不到最小值豐+*,從而解題出錯。sin2a)++14si

7、n2ai正解y=—sin2a+'4l、1cr13,>—x2./sin2a?—+—；+14Vsin2a4sin2a33、339——-j-————24sin2a2449例5求y=Vx2+4+/的最小值.厶2+4錯解真肓莎??Ymin-剖析上面解法中，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)77匚Z二「^=時取等號，而厶2+4此時x2-3無實(shí)數(shù)解,同樣犯了運(yùn)用基本不等式求最值吋等號不成立的錯誤，事實(shí)上,這題不能用基木不等式求解，否則，結(jié)果將是錯誤的，因此，這類題應(yīng)多加注意。正解1設(shè)t=7x2+4,則te［2,+°°］且y二f(t)二t+1,在［2,+t00)上任取ti〈t2,則f(tj)—f(t2)=tj—

8、12^—-—-(ti—12)(1-)〈0,由t2卯2此可，知f(t)在［2,+8)上為增函數(shù),???當(dāng)t=2即x=0時?，ymin=-.2正解2???(7x2+4+^^=)-(揚(yáng)+丄)厶2+4V4_(3+4—2)(2j，+4—l)2J/+4又???/20(當(dāng)且僅當(dāng)滬0時取“=”)J/+4—2$0,2a/x2+4-1>0???J/+4+1$2+丄（當(dāng)且僅當(dāng)x二0時取“二”）厶2+42當(dāng)燦時，畑弓9例6求函數(shù)y二x+-的最值。錯解y=x+?$2匚3二6,故函數(shù)有最小值6,無最大值。XVX剖析這里忽視了基本不等式x+y22歷屮x、y皆為正數(shù)條件。正解Tx與？同號，.I

9、y

10、二

11、x

12、+?

13、二

14、x

15、+2上2?XXX???yW-6或y$6,故函數(shù)既無最小值又無最大值。注意：運(yùn)用基本不等式x+y22低不求函數(shù)最值時，只有同時滿足下面三個條件才可求得：①x、y皆為正數(shù)；②當(dāng)且僅當(dāng)x=y時取等號；③“x+y”或“xy”其中一個必為定值。同樣，運(yùn)用基木不等式x+y+z23好求函數(shù)最值時亦然。忽視對一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)的討論例7求函數(shù)y=的最值。2x2+4x+3錯解原函數(shù)化為2yx2+4yx+3y-5=0,???此關(guān)于y的方程有解AA>0,即（4y）2-8X3.y-5）>0解Z得0故函數(shù)有最大值5,最小值