中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：例談進(jìn)退互化策略在解題中的應(yīng)用

《中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：例談進(jìn)退互化策略在解題中的應(yīng)用》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。

1、例談進(jìn)退互化策略在解題中的應(yīng)用本文舉例介紹“進(jìn)退互化”的解題策略.所謂進(jìn)，就是把所求的數(shù)學(xué)問(wèn)題推進(jìn)到一般情形下進(jìn)行研究，所謂退，就是在求解一個(gè)一般問(wèn)題時(shí)，先對(duì)它作特殊化處理，以期找到解題的方向和解題途徑.解題屮有時(shí)要以退求進(jìn)，有時(shí)要先進(jìn)后退.恰當(dāng)運(yùn)用進(jìn)退的互化是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一條重要策略.下面舉幾例說(shuō)明.例1計(jì)算：111112^+1723^2+273100x/99+99a/100'分析本題如果直接將分母有理化，明顯缺少解題解慧，有違命題者的意圖.因?yàn)橹苯訉⒎帜赣欣砘虏缓眠M(jìn)行，所以要另尋思路.仔細(xì)觀察原式，可以發(fā)現(xiàn)每個(gè)分母都有相同的結(jié)構(gòu)，并能統(tǒng)一寫(xiě)成二一的形式，故可將問(wèn)題一般化，又由于1(n

2、+1)a/tT+nJn+1=1Jn+]?Jn(Jn+1+/n)_/e+1-頁(yè)Jn+]?Jn11=〒?Jnyn+1所以我們就找到了解題思路.例2計(jì)算:72011x2012x2013x2014+1.分析根據(jù)算式的特點(diǎn)，我們可以大膽猜測(cè)被開(kāi)方數(shù)應(yīng)是一個(gè)完全平方數(shù)，但rh于數(shù)值較大，一時(shí)看不清塑.為此，我們可以作一般化處理，用字母表示數(shù)試試看，由于n+1)5+2)(,n+3)+1=>/(n2+3n)(n+3n+2)+1=^/(n2+3n)2+2(n2+3n)+1二/(n+3n+1)2=n2+3n+L再把n=2011代入得20112+3X2011+l,這就是原式的結(jié)果,也驗(yàn)證了我們的猜測(cè).評(píng)注我們?cè)诮鉀Q

3、上述兩個(gè)例子吋，由于所求的問(wèn)題形式較復(fù)雜，不容易看出解題的思路，于是把所求的問(wèn)題先推進(jìn)到一般的情形，體現(xiàn)了先進(jìn)后退的策略.這樣做不僅成功解決了問(wèn)題，同時(shí)也看清了這兩個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)木質(zhì)，例1是通過(guò)適當(dāng)?shù)牟痦?xiàng)達(dá)到消項(xiàng)的目的；例2其實(shí)是一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論：四個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積與1的和是一個(gè)完全平方數(shù).例3如圖1,在AABC中，ZB=2ZC,AD丄BC于D,M為BC的中點(diǎn)，AB=10cm,則MD的長(zhǎng)為分析這是一道“希望杯”邀請(qǐng)賽試題，難度較大.如何使用“ZB=2ZC”與“M為BC的屮點(diǎn)”這兩個(gè)條件成為解題的關(guān)鍵,觀察圖形可知木題要添加輔助線，但怎樣添加是要進(jìn)行一番研究的.我們先退一步思考:化處理來(lái)尋求答案呢？為

4、此，取ZB=60°.本題的圖1、原題作特殊則乙C二30。，得LBAC=90°,.?.BM==AB=10cm..又AD丄BCBD==5cm,/?MD=BM一BD=10-5二5crn.這樣我們就得到了原題的答案.下血我們來(lái)研究一般的情形.本題的方法較多，我們選取“ZB=2ZC”這個(gè)條件作為研究的方向.圖2解如圖2,作乙ABC的平分線交億于點(diǎn)N,則乙ABC=2^NBC=：2乙C,.?.厶N(yùn)BC=乙C,.?.NB=NC.:,NM//AD,:.ANDMNC=~MCBM=CM,:.NM丄BC,由RN是zUBC的角平分線可知AN=AB.DM_ABNC=尿…MC=BCf即字L二等，.MD=￡佔(zhàn)二5呃j-BCB

5、C2例4如圖3,內(nèi)接于OO的四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD垂直相交于點(diǎn)K,設(shè)OO的半徑為R.求證：AK2+BK2+CK2+DK2是定值.分析定值問(wèn)題的求解策略是先把一般問(wèn)題特殊化，找出定值，然后再給岀一般性的證明.為了得出本題的定值，我們可以這樣思考：若點(diǎn)K與點(diǎn)O重合，則AC與BD是兩條互相垂直的直徑，顯然有AK2+BK2+CK2+DK2=4R2為定值.這一步不僅找到了定值,而且給我們指明了解題的方向一一這個(gè)定值就是直徑的平方.B圖3的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且ZEAD=ZF4C,DE+EF~~BF的值.解如圖3,作直徑AE,連結(jié)DE,則厶ADE=90。，乙E=厶ACD,:.AD2+DE2=AE2=4

6、疋.厶BDC+乙ACD=90°,厶DAE+Z.E=90°,??./_BDC=厶DAE,BC=DEBC=DE,:.AtC+BK2+Cie+DK1=(AK2+DK2)+(BK2+CKj=AD?+BC2=AD2+DE2=40.在此基礎(chǔ)上,我們可以進(jìn)-?步得到AB2+BC2+CD2+DA2=2皿+BK2+CK2.+DK2)=8/?2,也是定值.例5如圖4,在正方形ABCD中，AC是它的一條對(duì)角線，點(diǎn)F、E分別是BC、CD分析為了找出這個(gè)比值，我們先作特殊化處理.若AF平分ZDAC,則有乙FAD=AFAC=厶EAD=Z.AFC,從而AC=CF,易證AAEDgAAGD,.?.DE=DG.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1

7、，則AC=CF=血?BC//AD,,4ADGs厶FCG,.匹一空刖DG_丄*CG=麗即1-DG二運(yùn)’/.DG=DE=a/5"-1,.?.CE=Q,.?.EF=2,DE+EF_Q-1+2…bf—=q+i=?到此我們找到了本題的結(jié)論：DE+EF=BF.本題告訴我們，證明兩條線段的和等于第三條線段，常用的方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短.解如圖4,在邊BC±取點(diǎn)H,使BH=DE,易證△ABH^AADE,???ZHAB=