2、圖2,在等腰RtABC中，AC=BC=2y/2，點P在以斜邊AB為直徑的半圓O上，點M為PC的中點.當點P沿半圓從點A運動至點3時，點M運動的路徑長是()圖2(A)&兀(B)71(C)2a/2(D)2解析由點M為PC的中點，可知殂=丄，并且在點P的運動過程中該值保持不變,CP2從而聯(lián)想位似圖形的定義和性質(zhì)構(gòu)造半圓O的位似圖形?分別取AC,BC的屮點D,E,連結(jié)DE,以DE為直徑作半圓N,則半圓N是半圓O的以點C為位似中心、丄為位似比的2位似圖形.根據(jù)位似圖形的定義和性質(zhì)可知，當點P運動時，CP與半圓N交點始終是CP的中點，即為點M,因此，點M的運動路徑就是半圓N.易求得其長度為龍，因此
3、選擇B.從引例1可以看出，當兩個動點與一定點的連線的夾角為一定值時，可以通過旋轉(zhuǎn)主動點所在圖形得到從動點的運動軌跡?同樣，從引例2可以看出，當兩個動點與一定點在同一條直線上（實為兩個動點與一定點的連線的夾角為0。），且它們到定點的距離之比為一定值時，可以通過構(gòu)造主動點所在圖形的位似圖形得到從動點的運動軌跡?很多題目中的主動點、從動點同時具備上述兩個條件，那么，我們就可以同時運用位似變換和旋轉(zhuǎn)變換進行求解.現(xiàn)展示兒例，以供讀者分享借鑒.例1如圖3,在平面直角坐標系中，已知坐標原點O是正MBC的AB邊的中點，且點A是OM上的一個動點，點M的坐標為（3,3）的半徑為2,當點A在OM上運動一周時
4、，求點C的運動路徑長解析點A為主動點，點C為從動點，連結(jié)OC,易得ZAOC=90°且鬻皿GC"?點。是定點，則點A點C與定點。的距離之比為6連線夾角為90°?可先以點O為位似中心、巧為位似比構(gòu)造位似ON,如圖4,則ON的半徑為2JL延長OA交OW于點0由位似圖形的定義和性質(zhì)可知，OD=*OA=OC,從而可將點C看作是由點D繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°而得.從集合觀點看，點C的運動軌跡為ON繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°而得，記為0P,如圖5.因此，當點A在上旋轉(zhuǎn)一周時，由位似性質(zhì)可知點￡＞在O7V上也旋轉(zhuǎn)一周，由旋轉(zhuǎn)變換可知，點C在OP±旋轉(zhuǎn)一周，且。P的半徑為2翻.因此，點C的運動路徑長為OP的周長
5、，即4屁.例2如圖6,的半徑為4,RtABC的頂點在OO上，ZB=90°,且tanA=-,當點A在（DO上運動時，求OC的最小值.4解析顯然，點A為主動點，點C為從動點，由圓的旋轉(zhuǎn)不變性，可將點B看作是定3點?易知，點C.點A與定點3的距離之比為一、連線夾角為90°,可先以點B為位似中433心、一為位似比構(gòu)造位似OD,如圖7,則BD=-BO=3.設(shè)AB與OD的交點為G,由44333位似圖形的定義和性質(zhì)可知，BG=—BA,根據(jù)tanA=—得，BG=-BA,所以444BC=BG,從而可將點C看作是由點G繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90度而得.從集合觀點看，點C的運動軌跡為OD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°而得
6、，記為OE,如圖8.因此，當點A在OO±旋轉(zhuǎn)一周時，由位似性質(zhì)可知點G在OD上也旋轉(zhuǎn)一周，由旋轉(zhuǎn)變換可知，點C在OE上旋轉(zhuǎn)一周.連結(jié)OE,BE,則AOBE為直角三角形，易知，OE=5,當點C在線段0E上時,Aoca最小值,例3如圖9,AB是。0的直徑，點C在的延長線上，AB=BC=10,點P是OO±一動點，連結(jié)PC,以PC為斜邊在PC的上方作RtPCD,使ZPDC=90°,tanZDPC=-,連結(jié)0￡>,則線段長的最小值是.4解析點P為主動點，點D為從動點.在RtPCD中，rtltanZDPC=-,可得4CD33cosZDCP=—=卩ZDCP是一個大小固定的角.以點C為位似中心、-為
7、位似比構(gòu)CP55造位似QM,如圖10,則其半徑為3.設(shè)CP與OM的交點為E,由位似圖形的定義和性CE3質(zhì)，可知—因此CE=CQ,從而點D可看作是把點E繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)CP5ZDCP的大小得到.從集合觀點看，點D的運動軌跡就是把G)M繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)ZDCP的大小得到，設(shè)為ON,由旋轉(zhuǎn)不變性可知，ON的半徑為3.此時，問題變成了ON外一定點O到ON上一動點之間距離的最小值，連結(jié)ON,交ON于點F,則OF的CN3CD長即為所求最
