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《數(shù)值模擬的基本知識(shí)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、數(shù)值方法呂凌霄中央大學(xué)太空科學(xué)研究所2007Laser-PlasmaSummerSchool中研院原分所浦大邦講堂July16,20071大綱數(shù)值模擬運(yùn)算與分析要用到的數(shù)值方法差分法與數(shù)值誤差的估算空間的微分與積分時(shí)間的積分認(rèn)識(shí)電腦運(yùn)算的極限疊代法與機(jī)器誤差估算亂數(shù)產(chǎn)生器求根內(nèi)差與分散總結(jié)2差分法與數(shù)值誤差估算差分法：中央差分法、前差分法、後差分法中央差分法：一般空間的微分與積分前差分法：快速流問(wèn)題後差分法：對(duì)時(shí)間的積分差分法的數(shù)值誤差估算：直覺的看法：微積分的定義進(jìn)一步的探究：Taylorseriesexpansion3微積分的定義中央差分法後差分法前差分法4利用差分法求空間
2、微分常用差分符號(hào)的定義：Q:算算看各項(xiàng)係數(shù)和是多少？5求積分第一類型，比較簡(jiǎn)單：求曲線下的面積，曲線函數(shù)為f(x)第二類型，比較難：traceacurveofagivenfieldf(x,y)以下將用第一類型的積分問(wèn)題，說(shuō)明如何估算數(shù)值誤差以及計(jì)算效率。第二類型的微分方程，為數(shù)值模擬中，最常遇到的問(wèn)題形態(tài)。6差分法之準(zhǔn)確度與誤差估算Taylorseriesexpansion（長(zhǎng)條圖積分：一階準(zhǔn)確）將yi+1對(duì)xi這點(diǎn)展開，可得下式，其中先將yi對(duì)xi+(1/2)這點(diǎn)展開，再將yi+1對(duì)xi+(1/2)這點(diǎn)展開，兩式結(jié)果相減，保留三項(xiàng)，其餘為餘數(shù)，可得（梯形法積分：二階準(zhǔn)確）7差
3、分法之準(zhǔn)確度與誤差估算Taylorseriesexpansion（The4thorderSimpson’srule積分法：四階準(zhǔn)確）先將yi對(duì)xi+(1/2)這點(diǎn)展開，再將yi+1對(duì)xi+(1/2)這點(diǎn)展開，兩式結(jié)果相減，保留五項(xiàng)，其餘為餘數(shù)，可得將代入上式，得8計(jì)算效率評(píng)估考慮：長(zhǎng)條圖積分（一階）與The4thorderSimpson’srule積分法每一個(gè)積分步驟：四階積分法比一階積分法多3倍欲達(dá)到準(zhǔn)確度s：一階積分法比四階積分法多走s(-3/4)倍故一階積分法比四階積分法慢s(-3/4)/3倍Fors=0.01,s(-3/4)/3isabout10如果容許百分之一以下的誤
4、差，四階積分法比一階積分法快10倍Fors=0.0001,s(-3/4)/3isabout300如果只容許萬(wàn)分之一以下的誤差，四階積分法比一階積分法快300倍計(jì)算效率評(píng)估：高階差分法遠(yuǎn)高於低階差分法但是如果只算一次，用高階差分法運(yùn)算，寫程式所用的時(shí)間，可能比運(yùn)算所省下來(lái)的時(shí)間還多！9求積分（曲線下面積）Q:算算看各項(xiàng)係數(shù)和是多少？10非差分法之空間微分與積分計(jì)算法LifeismorethanthefinitedifferencesFFT（FastFourierTransform，fast:預(yù)先建立好轉(zhuǎn)換table）df(x)/dx=F-1{ikF[f(x)]}Int[f(x)]
5、=F-1{F[f(x)]/ik}適用於求週期性函數(shù)或數(shù)值模擬的微分與積分波動(dòng)現(xiàn)象的微分與積分，F(xiàn)FT比起差分法，準(zhǔn)確度高又有效率非週期函數(shù)用FFT求微分與積分時(shí)，可能產(chǎn)生巨大誤差。FastCubicSpline（fast:預(yù)先建立好反矩陣table）分段連續(xù)之三次多項(xiàng)式f(x)=Ax3+Bx2+Cx+D在連接點(diǎn)上，相鄰兩段區(qū)間之函數(shù)值、函數(shù)一次微分值、與函數(shù)二次微分值，均連續(xù)。適用於求週期性或非週期性函數(shù)的微分與積分準(zhǔn)確度與三階差分法相似（高階差分法的微分見補(bǔ)充教材）11係數(shù)為tri-diagonalmatrix!12補(bǔ)充教材：微分之高階中央差分表示式假設(shè)微分結(jié)果可寫成鄰近網(wǎng)格
6、點(diǎn)處y值的線性組合。將{y-N～yN}相對(duì)x0這點(diǎn)做Taylorexpansion然後代入上式得比較y0(n)項(xiàng)的係數(shù)，忽略n>2N之高階餘數(shù)項(xiàng)，可得2N+1個(gè){a-N～aN}之一階聯(lián)立方程式。求解{a-N～aN}，即得y0(s)之2N階中央差分表示式。13第二類型積分問(wèn)題Traceacurveofagivenfieldf(x,y)y(t)對(duì)時(shí)間的積分y(x,t)對(duì)時(shí)間的積分其中y(x,t)對(duì)空間的偏微分，可由前述差分法、FFT、CubicSpline、或其他高階中央差分求得以下將以dy(t)/dt=f(t,y)為範(fàn)例，進(jìn)行討論14時(shí)間積分Solvey(t)fordy(t)/d
7、t=f(t,y)withagiveny0=y(t=0)Explicitscheme利用過(guò)去與現(xiàn)在的資訊，估算時(shí)間積分之值，以預(yù)測(cè)未來(lái)的結(jié)果。運(yùn)算比較快、程式比較好寫，但是誤差會(huì)不斷地累積。Implicitscheme利用過(guò)去、現(xiàn)在、與未來(lái)的資訊，估算時(shí)間積分之值。其中未來(lái)的資訊，可藉由聯(lián)立方程式求解，或利用疊代法求解。運(yùn)算費(fèi)時(shí)、程式難寫，但是誤差不會(huì)累積。15TheexplicittimeintegrationsThe2ndorderRunge-KuttamethodThe1storderE
