(N)是一個以自然數(shù)集為定義域的函數(shù)

《(N)是一個以自然數(shù)集為定義域的函數(shù)》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、設(shè)xn=f(n)是一個以自然數(shù)集為定義域的函數(shù),將其函數(shù)值按自變量大小順序排成一列，x1,x2,…xn,…,稱為一個數(shù)列.xn稱為數(shù)列的第n項，也稱為通項,數(shù)列也可表示為{xn}或xn=f(xn)第一節(jié)　數(shù)列的極限一、數(shù)列的極限例.1x看數(shù)列1.從直觀上看,這個數(shù)列當(dāng)n越來越大時,對應(yīng)的項xn會越來越接近于1,或者說“當(dāng)n趨向于無窮大時,數(shù)列xn趨近于1??.如何用精確的,量化的數(shù)學(xué)語言來刻劃這一事實?2x1x2x3x4xn注意到,實數(shù)a,b的接近程度由

2、a?b

3、確定.

4、a?b

5、越小,則a,b越接近.因此,要說明“當(dāng)n越來越大時,xn越來越接近于1”就只須說明“當(dāng)n越來越大時

6、,

7、xn?1

8、會越來越接近于0”.而要說明“

9、xn?1

10、越來越接近于0”則只須說明“當(dāng)n充分大時,

11、xn?1

12、能夠小于任意給定的,無論多么小的正數(shù)?”就行了,也就是說無論你給一個多么小的正數(shù)?,當(dāng)n充分大時,

13、xn?1

14、比?還小,由于?是任意的,從而就說明了

15、xn?1

16、會越來越接近于0.事實上,,給,很小,,只須n>1000即可,數(shù)列中,從第1001項開始,以后各項都有要也即在這個又給,則從第10001項開始,以后各項都有一般,任給?>0,不論多么小,只須.因此,從第項開始,以后各項都有.因?是任意的,這就說明了當(dāng)n越來越大時,xn會越來越接近于1.要使定義:設(shè){xn}是一個

17、數(shù)列,a是一個常數(shù),若??>0,?正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時,都有

18、xn?a

19、0,?正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時,都有

20、xn?a

21、

22、的N.)若??>0,?正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時,都有

23、xn?a

24、N時,有

25、xn?a

26、

27、xn?a

28、0,?正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時,都有

29、xn?a

30、

31、xn?a

32、

33、a為心,以任意小的正數(shù)?為半徑的?鄰域,總能找到一個N,從第N+1項開始,以后各項都落在鄰域U(a,?)內(nèi),而只有有限項落在U(a,?)外部.看圖.例1.若xn=c(常數(shù)),則若??>0,?正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時,都有

34、xn?a

35、0.由于

36、xn–1

37、=

38、c–c

39、=0取N=1,當(dāng)n>N時,有

40、xn–c

41、=0

42、q

43、<1的常數(shù),證明證.若q=0,結(jié)論顯然成立.??>0.設(shè)0<

44、q

45、<1.現(xiàn)在,xn=qn,a=0.(要證?N,當(dāng)n>N時,有

46、qn?0

47、

48、xn?a

49、=

50、qn?0

51、=

52、qn

53、=

54、q

55、n,要使

56、xn?

57、a

58、

59、q

60、n

61、q

62、N時,有從而有

63、qn?0

64、0要使則當(dāng)n>N時,有(要證?N,當(dāng)n>N時,有若??>0,?正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時,都有

65、xn?a

66、0,由于要使

67、xn?a

68、N時,有例5.證:(1)設(shè)a=1,結(jié)論顯然成立.(2)設(shè)a>1,從而>1+n?n??>0,(3)設(shè)00,?N,當(dāng)n>N時,有??.(因0

69、N1時,?N2,當(dāng)n>N2時,取N=max{N1,N2},則當(dāng)n>N時,上兩式同時成立.從而當(dāng)n>N時,有矛盾,故極限唯一.若??>0,?正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時,都有

70、xn?a

71、0,使得

72、xn

73、?M,n=1,2,….則稱數(shù)列xn有界,否則,稱xn無界.由于

74、xn

75、?M??M?