是無窮的自然數(shù)列

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1、B6-052?假設(shè)a1，a2，a3，…是無窮的自然數(shù)列，a1=1，而且當(dāng)k＞1時有不等式ak≤1+a1+a2+…+ak-1證明：所有的自然數(shù)都可以表示成這個數(shù)列的某些項之和的形式（可以只有一項構(gòu)成）．【題說】1960年匈牙利數(shù)學(xué)奧林匹克題2．【證】我們證明稍廣一點的斷言：如果自然數(shù)n≤a1+a2+…+ak，那么n可以表示成a1，a2，…，ak中某些數(shù)的和．k=1時斷言顯然成立，假設(shè)斷言對于k-1成立，則自然數(shù)n≤a1+a2+…+ak-1時n可以表示成a1，a2，…，ak-1中某些數(shù)的和．若1+a1+a2+

2、…+ak-1≤n≤a1+a2+…+ak，則由已知條件0≤n-ak≤a1+a2+…+ak-1．于是數(shù)n-ak或者等于0，或者根據(jù)歸納假設(shè)可以表示成a1，a2，…，ak-1中某些數(shù)的和．因此n可以表示成a1，a2，…，ak中某些數(shù)的和．?B6-053?考察數(shù)列｛cn｝：c1=c1+c2+…+a8……其中a1，a2，…，a8是不全為0的實數(shù)．假定該數(shù)列中有無限多項cn=0．求出所有使cn=0的自然數(shù)n．【題說】第九屆（1967年）國際數(shù)學(xué)奧林匹克題5．本題由原蘇聯(lián)提供．【解】不妨設(shè)a1的絕對值為最大，則必有某個

3、ai，滿足ai=-a1（i≠1）．否則，當(dāng)n充分大時，不失一般性可設(shè)????????????????????????a2=-a1所得的和cn仍然有無窮多個為0．根據(jù)上面的推理，有（適當(dāng)調(diào)整編號）：a3=-a4，a5=-a6，a7=-a8因而n為奇數(shù)時，cn=0．?B6-054?一次競賽在n（＞1）輪中共發(fā)了m枚獎?wù)拢谝惠啺l(fā)了輪正好發(fā)了n枚而沒有余下的獎?wù)拢@個競賽共包括幾輪？一共發(fā)了多少獎?wù)?？【題說】第九屆（1967年）國際數(shù)學(xué)奧林匹克題6．本題由匈牙利提供．即?????????????????????

4、????????????（m-36）·6n-1=7n·（n-6）所以???????????????????????????????????????6n-1

5、（n-6）但???????????????????????????????????????????6n-1＞n-6所以???????????????????????????????????????n=6，m=36?B6-055?設(shè)｛an｝為有下列性質(zhì)的實數(shù)列：??????????????????????????????????????1=a0≤a1≤a

6、2≤…≤an≤…?????????????????????????????（1）又｛bn｝是由下式定義的數(shù)列：證明：（a）對所有n=1，2，3，…，有0≤bn＜2；（b）對0≤c＜2的任一c，總存在一個具有性質(zhì)（1）的數(shù)列｛an｝，使得由（2）導(dǎo)出的數(shù)列｛bn｝中有無限多個下標(biāo)n滿足bn＞c．【題說】第十二屆（1970年）國際數(shù)學(xué)奧林匹克題3．本題由瑞士提供．所以=2第k項是?現(xiàn)在要求對無窮多個n，d（1+d）（1-dn）＞c，則事實上，這時有d（1+d）＞c．故（3）右端為一正數(shù)．因為0＜d＜1時，dn

7、→0，所以存在一個確切的自然數(shù)N（如取N=[ln（1-c/（d（1+d）/lnd））]），使得當(dāng)n＞N時（3）成立．于是（b）得證．?B6-056?證明：如果｛an｝是兩兩互異的自然數(shù)組成的無窮序列，并且這些自然數(shù)的十進(jìn)制表達(dá)式中不含數(shù)字0，那么【題說】1970年～1971年波蘭數(shù)學(xué)奧林匹克三試題1．【證】k位數(shù)中，數(shù)字不含0的共9k個，其中首位數(shù)字為1，2，…，9的各9k-1個，因此?B6-057?證明：數(shù)列｛2n-3｝，n=2，3，4，…中至少有一個無窮子列，其中的項兩兩互素．【題說】第十三屆（197

8、1年）國際數(shù)學(xué)奧林匹克題3．本題由波蘭提供．【證】我們用歸納法來構(gòu)造一個這樣的子列．取n1=2．若n1，…，nk已經(jīng)取定，且2ni-3（1≤i≤k）兩兩互素，將它們分解成素因子的積，設(shè)在這些積中出現(xiàn)的素因子為pj（1≤j≤n）令???????????????????????nk+1=（p1-1）（p2-1）…（pm-1）+2≡4-3=1（modpj）（1≤j≤n）故2nk+1-3不能被任一pj整除，因而它與2ni（1≤j≤k）都互素，這樣，子列｛2nk-3｝就是滿足題目要求的一個子列．?B6-058?設(shè)a

9、1，a2，a3，…是正整數(shù)無窮數(shù)列，且對所有k≥1有ak＜ak+1．證明：在上述數(shù)列出，有無窮多個am可以表示成am=xap+yaq的形式，其中x，y是適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，并且p≠q．【題說】第十七屆（1975年）國際數(shù)學(xué)奧林匹克題2．本題由英國提供．【證】考慮模a1的剩余類．因為關(guān)于模a1的剩余類只有有限個，所以必存在一個剩余類，其中包含所給數(shù)列的無窮多項，設(shè)ap是該剩余類中的最小的異于a1的數(shù)，則此類中其余的am＞ap，都可表成