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《11-5應(yīng)用_6026_1628_20130603094302》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、一、近似計算QA=a+a+L+a+L,12nA?a+a+L+a,12n誤差r=a+a+L.nn+1n+2兩類問題:1.給定項數(shù),求近似值并估計精度;2.給出精度,確定項數(shù).關(guān)健:通過估計余項,確定精度或項數(shù).常用方法:1.若余項是交錯級數(shù),則可用余和的首項來解決;2.若不是交錯級數(shù),則放大余和中的各項,使之成為等比級數(shù)或其它易求和的級數(shù),從而求出其和.-5例1計算e的近似值,使其誤差不超過10.x121n解Qe=1+x+x+L+x+L,2!n!11令x=1,得e?1+1++L+,2!n!余和:111
2、1rn?++L=(1++L)(n+1)!(n+2)!(n+1)!n+21111￡(1+++L)=2(n+1)!n+1(n+1)n×n!-51-5欲使rn￡10,只要￡10,n×n!55即n×n!310,而8×8!=322560>10,111e?1+1+++L+?2.718282!3!8!3x0例2利用sinx?x-計算sin9的近似值,3!并估計誤差.0pp1p3解sin9=sin?-(),20206201p5151-5r￡()<(0.2)<<10,25!201203000000sin9?0.157
3、079-0.000646?0.156433-5其誤差不超過10.二、計算定積分-x2sinx1例如函數(shù)e,,,原函數(shù)不能用初等xlnx函數(shù)表示,難以計算其定積分.解法被積函數(shù)被積函數(shù)定積定積分的近似值分的近似值展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù)逐項積分逐項積分1sinx-4例3計算òdx的近似值,精確到10.0xsinx121416解Q=1-x+x-x+Lx?(-￥,+￥)x3!5!7!1sinx111òdx=1-+-+L0x3×3!5×5!7×7!收斂的交錯級數(shù)11-4第四項<<10,7×7!3000取前三項
4、作為積分的近似值,得1sinx11òdx?1-+?0.94610x3×3!5×5!三、歐拉公式復(fù)數(shù)項級數(shù):(u+iv)+(u+iv)+L+(u+iv)+L1122nn其中u,v(n=1,2,3,L)為實常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù).nn￥￥若u=?un,v=?vn,兩級數(shù)收斂n=1n=1￥則稱級數(shù)?(un+ivn)收斂,且其和為u+iv.n=1復(fù)數(shù)項級數(shù)絕對收斂的概念222222若u+v+u+v+L+u+v+L收斂,1122nn￥￥則?un,?vn絕對收斂,稱復(fù)數(shù)項級數(shù)絕對收斂.n=1n=1三個基本展開式2nxxxe
5、=1+x++L++L,(-￥6、osx+isinx?cosx=?2íix-ix?e-esinx=又Qe-ix=cosx-isinx??2i歐拉公式x+iyxe=e(cosy+isiny)揭示了三角函數(shù)和復(fù)變數(shù)指數(shù)函數(shù)之間的一種關(guān)系.五、小結(jié)１、近似計算,求不可積類函數(shù)的定積分，歐拉公式的證明；２、微分方程的冪級數(shù)的解法．(略)練習(xí)題一、利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求下列各數(shù)的近似值:1、ln3(精確到0.0001)；o2、cos2(精確到0.0001).二、利用被積函數(shù)的冪級數(shù)展開式求定積分0.5arctanxòdx(精確到0.001)
7、的近似值.0xx三、將函數(shù)ecosx展開成x的冪級數(shù).練習(xí)題答案一、1、1.0986；2、0.9994.二、0.487.￥pnxnpx三、ecosx=?22cos×(-￥,+￥).n=04n!pp2(cos+jsin)x(提示:excosx=Ree(1+j)x=Ree44)
