固體物理--半導(dǎo)體晶體 8.2 運(yùn)動(dòng)方程

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1、1波包和電子速度在量子力學(xué)中，對(duì)任何有經(jīng)典類比的力學(xué)系統(tǒng)，如果一個(gè)態(tài)的經(jīng)典描述近似成立，則在量子力學(xué)中這個(gè)態(tài)就由一個(gè)波包代表，所有坐標(biāo)與動(dòng)量都有近似的數(shù)值所謂波包是指粒子（例如電子）空間分布在附近范圍內(nèi)，動(dòng)量取值分布在附近的范圍內(nèi)，其中和滿足測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系2波包可由一特定波矢附近的諸波函數(shù)組成，群速和能量為e的波函數(shù)相關(guān)的頻率為w，兩者關(guān)系為或所以，群速為或晶體對(duì)電子運(yùn)動(dòng)的影響包含在色散關(guān)系中3運(yùn)動(dòng)方程在時(shí)間間隔dt內(nèi)電場(chǎng)對(duì)一個(gè)電子所作的功比較上述兩式，知由群速公式，得上式用合外力表示為4顯然，上述運(yùn)動(dòng)方程沒(méi)有違反牛頓第二定律：晶體中電子既受到來(lái)自外源的力，也受到來(lái)自晶格的力在磁場(chǎng)

2、不足以破壞能帶結(jié)構(gòu)的條件下，上述結(jié)果也適用于磁場(chǎng)作用在一個(gè)電子上的洛倫茲力牛頓第二定律因此磁場(chǎng)中的電子在空間中的等能面上運(yùn)動(dòng)；其運(yùn)動(dòng)位于垂直于的平面內(nèi)，軌道則為該平面與一等能面的交線58.2.1運(yùn)動(dòng)方程的物理推導(dǎo)屬于能量本征值和波矢的布洛赫本征函數(shù)其中利用了布洛赫函數(shù)的歸一化條件一個(gè)電子在布洛赫中的動(dòng)量為6為簡(jiǎn)便計(jì)，將晶體認(rèn)為是電中性，在一個(gè)能帶上有一處于態(tài)的電子，該能帶其余態(tài)都是空的在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)施加一個(gè)微弱的外力，使整個(gè)晶體系統(tǒng)的總沖量為若傳導(dǎo)電子是自由的(m*=m)，那么由這個(gè)沖量給予晶體系統(tǒng)的總動(dòng)量應(yīng)反映在該電子的動(dòng)量變化之中，即現(xiàn)在討論由于施加外力使電子由態(tài)變化至態(tài)

3、時(shí)，電子與晶格間的動(dòng)量轉(zhuǎn)移該晶體不能通過(guò)該電子同電場(chǎng)發(fā)生凈相互作用7若傳導(dǎo)電子同晶格的周期勢(shì)場(chǎng)發(fā)生相互作用，則電子動(dòng)量的改變?yōu)槔昧岁P(guān)系式8如果電子具有動(dòng)量為的平面波分量，它被晶格反射后具有動(dòng)量，則晶格將獲得動(dòng)量當(dāng)由狀態(tài)過(guò)渡到時(shí)，轉(zhuǎn)移給晶格的動(dòng)量為就好像在狀態(tài)改變的過(guò)程中，初始狀態(tài)的每一個(gè)單一分量都被反射了這樣一部分9總動(dòng)量變化為由的定義我們有和自由電子的結(jié)果一樣108.2.2空穴一個(gè)空穴在外加電場(chǎng)或磁場(chǎng)中的行為猶如它帶有正電荷+e，理由如下11滿帶中電子的總波矢為零，即晶格對(duì)任何格點(diǎn)的反演操作都具有對(duì)稱性，因此晶格的布里淵區(qū)也具有反演對(duì)稱性。如果能帶被填滿，則所有的一對(duì)對(duì)和軌

4、道都是滿的，從而總波矢為零12空穴的波矢和留在G處的電子波矢一樣如果波矢為的軌道逸失一電子，則系統(tǒng)的總波矢為，如果將價(jià)帶描述為由一個(gè)空穴占據(jù)的能帶，那么該空穴的波矢就是對(duì)整個(gè)系統(tǒng)，吸收光子后的總波矢13把價(jià)帶頂作為價(jià)帶能量零點(diǎn)。逸失的電子在帶內(nèi)的位置愈低，系統(tǒng)的能量愈高。逸失電子后，系統(tǒng)的能量將變成正的，此即可認(rèn)為是空穴的能量2.一般情況下，能帶是對(duì)稱的，即因此模擬的空穴能帶14由圖可知3.模擬的空穴能帶15有效質(zhì)量反比于曲率4.對(duì)于空穴能帶，這個(gè)值和價(jià)帶中電子所具有的相應(yīng)值符號(hào)相反在價(jià)帶頂附近me為負(fù)，因此mh為正16逸失電子的運(yùn)動(dòng)方程為5.空穴的運(yùn)動(dòng)方程是帶正電荷e的粒子的

5、運(yùn)動(dòng)方程17(a)t=0時(shí)，能帶除帶頂F處以外均被填滿(b)施加電場(chǎng)Ex，所有電子向–kx遷移，空穴移至狀態(tài)E(c)再過(guò)一段時(shí)間，電子繼續(xù)向–kx運(yùn)動(dòng)，空穴到達(dá)D正電荷電流18正電荷的運(yùn)動(dòng)速度就是E處逸失的電子的速度空穴和電子的漂移速度相反，但它們的電流方向相同，即沿電場(chǎng)方向198.2.3有效質(zhì)量自由電子的色散曲線的曲率由k2的系數(shù)決定，亦即1/m決定這曲率布里淵區(qū)邊界附近的色散對(duì)一能帶中的電子在布里淵區(qū)邊界附近可能存在曲率異常高的區(qū)域20當(dāng)U>0時(shí)，電子在第二能帶的低帶邊附近的能量K是布里淵區(qū)邊界開(kāi)始量度的波矢，me表示第二能帶低帶邊附近電子的有效質(zhì)量電子在第一能帶頂端附近的

6、能量第一能帶頂端附近曲率為負(fù)，有效質(zhì)量也是負(fù)的，但空穴的有效質(zhì)量為正值21由前述已經(jīng)知道所以，我們有定義有效質(zhì)量m*因此具有牛頓第二定律的形式22考慮等能面的各向異性，把上述結(jié)果加以推廣，即得到倒有效質(zhì)量張量，其分量為電子的運(yùn)動(dòng)方程238.2.4有效質(zhì)量的物理基礎(chǔ)由第七章的弱相互作用近似，在較低能帶的底部附近可近似用一個(gè)波矢為k的平面波來(lái)表示軌道，波矢為k–G的波分量很小，當(dāng)k增加時(shí)，它只是緩慢增加因此在帶底附近的區(qū)域內(nèi)當(dāng)k增加時(shí)，反射分量的增加表示動(dòng)量由晶格轉(zhuǎn)移給電子24布里淵區(qū)邊界附近反射分量相當(dāng)大，在區(qū)界上其振幅等于前向分量的振幅，這時(shí)本征函數(shù)是駐波而不是行波，此處的兩動(dòng)

7、量分量相消能帶底部：正有效質(zhì)量（向上的曲率）能帶頂部：負(fù)有效質(zhì)量25負(fù)有效質(zhì)量意味著電子狀態(tài)由k變到k+Dk時(shí)，由電子轉(zhuǎn)移給晶格的動(dòng)量大于由外力轉(zhuǎn)移給電子的動(dòng)量電子束不滿足布拉格條件，透過(guò)晶體雖然外場(chǎng)使電子動(dòng)量增加了，但趨于布拉格反射條件使電子的前向動(dòng)量總的說(shuō)來(lái)減小，這樣有效質(zhì)量為負(fù)電子束滿足布拉格條件，被晶體反射26當(dāng)離開(kāi)布里淵區(qū)邊界進(jìn)入第二能帶時(shí)，的振幅迅速減小，m*取小的正值。此時(shí)，由給定的外來(lái)沖量引起的電子速度的增加大于自由電子速度的增加。當(dāng)?shù)恼穹鶞p小時(shí)，晶格受到反沖，通過(guò)這個(gè)反沖來(lái)