實對稱矩陣特征值和特征向量的數值算法

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1、第27卷
第2期西安科技大學學報Vo.l27
No
22007年6月JOURNALOFXI
ANUNIVERSITYOFSCIENCEANDTECHNOLOGYJune
2007

文章編號:1672-9315(2007)02-0313-03*實對稱矩陣特征值和特征向量的數值算法劉葉玲,姬戰(zhàn)懷(西安科技大學基礎課部,陜西西安710054)摘
要:結合冪法、反冪法和原點平移法的特點,給出求實對稱矩陣特征值和特征向量的一種數值算法。提出的方法能有效地處理冪法、反冪法和原點平移法在迭代時可能出現(xiàn)的一些問題,并通過實例驗證了本算法的有效性。關鍵詞:實對稱矩陣

2、;特征值;特征向量;冪法中圖分類號:O151.21


文獻標識碼:AThemethodofcomputingtheeigenvaluesandeigenvectorsofrealandsymmetricmatrixLIUYe-ling,JIZhan-huai(Dept
ofBasicCourses,Xi
anUniversityofScienceandTechnology,Xi
an710054,China)Abstract:Inthepaper,wepresentamethodofcomputingrealandsymmetricmatrixei

3、genvaluesandeigenvectors,whichdrawstrongpointfromthepowermethod,theinversepowermethodandtheoriginmovemethod.Thealgorithmgetsovershortagesofthepowermethod,theinversepowermethodandtheoriginmovemethod.It
sappliedtoapracticalproblem.Theresultdemonstratesthatthealgorithmiseffective.

4、Keywords:realandsymmetricmatrix;eigenvalue;eigenvector;powermethod在工程實踐中經常涉及到求實對稱矩陣特征值和特征向量的問題,例如在對數據做主成分分析和典[1-3]型相關分析時就涉及到求解協(xié)方差矩陣的特征值和特征向量的問題。求解特征值問題有很多方法,常用的有:LR方法、QR方法、冪法和反冪法、雅可比法。冪法是求解矩陣特征值的一種常用方法,用于計算矩陣絕對值最大的特征值。在實際應用中,冪法的收斂速度由第一特征值和第二特征值比值的絕對值來確定。這個比值越接近于1,迭代的收斂速度就越慢。文中結

5、合冪法、反冪法和原點平移法的特點,給出求解實對稱矩陣特征值和特征向量的一種新的、有效的數值算法。該方法克服了冪法的不足,提高了運算速度和計算精度。通過實例驗證了本算法的有效性。[4-7]1
算法原理和方法冪法、反冪法和原點平移法的方法和原理這里不再贅述,詳見文獻[1]。這里只就各方法在算法中的作用,以及迭代時可能出現(xiàn)的問題進行討論,并且,針對在實際問題中遇到的實對稱矩陣可能存在相等的特征值、互為相反數的特征值和零特征值等情況,以及這些情況可能導致采用冪法運算時精度降低、結果錯誤或不收斂等情況給出解決方案。*收稿日期:2006-05-17作者簡介:劉葉

6、玲(1961-),女,湖南邵陽人,副教授,碩士研究生導師,主要從事應用數學及決策分析方面的研究
314西
安
科
技
大
學
學
報2007年2-1設矩陣A為n
n實對稱矩陣,由線性代數知識可知,矩陣A,A,(A-
I)和(A-
I)和(A--1
I)(其中,
為實數,I為n
n單位矩陣)都是對稱矩陣,且有相同的特征向量,各矩陣不同特征值所對應的特征向量相互正交。在本算法中,先用冪法計算矩陣A的近似特征值
和特征向量
,再對矩陣進行平移,得矩陣(A-
I),然后對矩陣(A-
I)用反冪法進行修正,最后得到矩陣A的較精確的特征值
和特征向量
。1.1用

7、冪法和原點平移法確定矩陣A的近似特征值和特征向量設已求得矩陣A的前i個特征值(i

8、=
-


,
j

j(4)j=1

=(5)


循環(huán)對
做冪法迭代,其中


表示向量的模。由于使用了