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《期望值與變異數(shù)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、期望值 變異數(shù) 共變異數(shù)與相關(guān)係數(shù) 變異數(shù)與共變異數(shù)之性質(zhì) 柴比雪夫不等氏 動(dòng)差與動(dòng)差生成函數(shù)15.1期望值5.1.1單一隨機(jī)變數(shù)之期望值5.1.2二元隨機(jī)變數(shù)之期望值5.1.3期望值之性質(zhì)25.1.1單一隨機(jī)變數(shù)之期望值(1/4)在前幾章節(jié)，已經(jīng)介紹了已知資料的平均數(shù)，在此章節(jié)我們將介紹未知資料值的平均數(shù)，在此稱之為「期望值」。(一)隨機(jī)變數(shù)之期望值若為隨機(jī)變數(shù)X之機(jī)率(密度)函數(shù)，則隨機(jī)變數(shù)X的平均值或期望值以或表示，定義如下：(1)若X為離散型：(2)若X為連續(xù)型：參見例5.135.1.1單一隨機(jī)變數(shù)之期望值(2/4)例題5.1已知一離散型隨機(jī)變數(shù)X之機(jī)率分配如下，試求X之期望
2、值μ。【解】因?yàn)閄f(x)=P(X=x)100000.3300000.2500000.4700000.1合計(jì)1.045.1.1單一隨機(jī)變數(shù)之期望值(3/4)(二)隨機(jī)變數(shù)函數(shù)之期望值令為隨機(jī)變數(shù)X之機(jī)率(密度)函數(shù)，則X之函數(shù)的期望值定義如下：(1)若X為離散型：(2)若X為連續(xù)型：參見例5.455.1.1單一隨機(jī)變數(shù)之期望值(4/4)例題5.4令X表投擲一個(gè)硬幣二次，出現(xiàn)正面的次數(shù)，且（式中表示當(dāng)投擲兩次正面，則可獲利100元，而投擲兩次均反面，則損失100元，若僅投擲一個(gè)正面則沒有輸贏)，試求之期望值?！窘狻恳?yàn)殡S機(jī)變數(shù)X的機(jī)率分配如下：所以之期望值為x012合計(jì)f(x)1/41
3、/21/4165.1.2二元隨機(jī)變數(shù)之期望值(1/6)(一)二元隨機(jī)變數(shù)之期望值(1)若為離散型，則(2)若為連續(xù)型，則75.1.2二元隨機(jī)變數(shù)之期望值(2/6)(二)二元隨機(jī)變數(shù)函數(shù)之期望值(1)若為離散型，則(2)若為連續(xù)型，則參見例5.5參見例5.685.1.2二元隨機(jī)變數(shù)之期望值(3/6)例題5.5下表為民眾對(duì)市政府滿意程度之機(jī)率分配：(X表年齡層，Y表滿意分?jǐn)?shù)：最低分1分；最高分5分)試求：(1)(2)XY12345總和0(表小於30歲)00.050.150.20.10.51(表大於、小於30歲)00.10.20.200.5總和00.150.350.40.195.1.2二元
4、隨機(jī)變數(shù)之期望值(4/6)承上頁【解】(1)因此民眾對(duì)市政府之平均滿意分?jǐn)?shù)為3.45，即民眾對(duì)市政府之平均滿意程度為介於普通與滿意之間。(2)105.1.2二元隨機(jī)變數(shù)之期望值(5/6)例題5.6令二元隨機(jī)變數(shù)之聯(lián)合機(jī)率密度函數(shù)試求：(1)及(2)【解】(1)115.1.2二元隨機(jī)變數(shù)之期望值(6/6)承上頁(2)125.1.3期望值之性質(zhì)(1/2)定理5-1若X為一隨機(jī)變數(shù)，且a、b為常數(shù)，則推理5-2若b為一常數(shù)，則E(b)＝b。定理5-3令q1(X)、q2(X)為隨機(jī)變數(shù)X之函數(shù)，則135.1.3期望值之性質(zhì)(2/2)定理5-4令為二元隨機(jī)變數(shù)，q1(X,Y)、q2(X,Y)為
5、隨機(jī)變數(shù)之函數(shù)，則推理5-5若(X、Y)為一二元隨機(jī)變數(shù)，則定理5-6若X、Y為獨(dú)立之隨機(jī)變數(shù)，則145.2變異數(shù)5.3共變異數(shù)與相關(guān)係數(shù)5.3.1二元隨機(jī)變數(shù)之變異數(shù)5.3.2共變異數(shù)與相關(guān)係數(shù)155.2變異數(shù)(1/4)(一)隨機(jī)變數(shù)之變異數(shù)令X為一隨機(jī)變數(shù)且μ為其平均數(shù)，則X的變異數(shù)以或表示，其定義如下：由上述定義，我們可得以下結(jié)果：(1)若X為離散型：令為其所有變量，且為其機(jī)率函數(shù)，則(2)若X為連續(xù)型：令為其機(jī)率密度函數(shù)，則定理5-7之計(jì)算公式參見例5.9參見例5.10165.2變異數(shù)(2/4)例題5.9假設(shè)一隨機(jī)變數(shù)X的機(jī)率分配如下：試求及【解】x123f(x)0.30.4
6、0.3175.2變異數(shù)(3/4)例題5.10若隨機(jī)變數(shù)X的機(jī)率密度函數(shù)，試求及【解】(1)(2)185.2變異數(shù)(4/4)(二)隨機(jī)變數(shù)之標(biāo)準(zhǔn)差令X為一隨機(jī)變數(shù)且為其變異數(shù)，則X的標(biāo)準(zhǔn)差定義為由上述之定義可得例5.9之隨機(jī)變數(shù)X之標(biāo)準(zhǔn)差為195.3.1二元隨機(jī)變數(shù)之變異數(shù)(1/4)若為一二元隨機(jī)變數(shù)，則(1)若為離散型，則(2)若為連續(xù)型，則參見例5.12參見例5.13205.3.1二元隨機(jī)變數(shù)之變異數(shù)(2/4)例題5.12承例5.5，求隨機(jī)變數(shù)Y之變異數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差【解】因?yàn)榍乙虼俗儺悢?shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為215.3.1二元隨機(jī)變數(shù)之變異數(shù)(3/4)例題5.13承例5.6，若之聯(lián)合機(jī)率密度函
7、數(shù)為求隨機(jī)變數(shù)X、Y之變數(shù)及?！窘狻?1)由例5.6得知且225.3.1二元隨機(jī)變數(shù)之變異數(shù)(4/4)承上頁(2)同理，，且235.3.2共變異數(shù)與相關(guān)係數(shù)(1/6)(一)共變異數(shù)二元隨機(jī)變數(shù)之共變異數(shù)，以或表示，定義如下：定理5-8推理5-9若X、Y為獨(dú)立之隨機(jī)變數(shù)，則參見例5.14245.3.2共變異數(shù)與相關(guān)係數(shù)(2/6)例題5.14承例5.5，求二元隨機(jī)變數(shù)X、Y之共變異數(shù)【解】由例5.5得知，即隨機(jī)變數(shù)X、Y具有負(fù)的線性相關(guān)。255.3.2共變異數(shù)
