有限元素法簡介

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1、有限元方法的基本思想、特點和步驟有限元法的基本思想可以用下述幾點進行說明：&假想把連續(xù)系統(tǒng)(包括桿系，連續(xù)體，連續(xù)介質(zhì))分割成數(shù)目有限的單元，單元之間只在數(shù)目有限的指定點(稱為節(jié)點)處相互連接，構(gòu)成一個單元集合體來代替原來的連續(xù)系統(tǒng)。在節(jié)點上引進等效載荷(或邊界條件)，代替實際作用于系統(tǒng)上的外載荷(或邊界條件)。這一處理稱為“結(jié)構(gòu)離散化”。&對每個單元由分塊近似的思想，按一定的規(guī)則(由力學(xué)關(guān)系或選擇一個簡單函數(shù))建立求解未知量與節(jié)點相互作用(力)之間的關(guān)系(力—位移、熱量—溫度、電壓—電流等)。這一處理稱為“單元分析”。&把所有單元的這種特性關(guān)系按一定的條件(變形協(xié)調(diào)條件、連續(xù)條件或變分原理

2、及能量原理)集合起來，引入邊界條件，構(gòu)成一組以節(jié)點變量(位移、溫度、電壓等)為未知量的代數(shù)方程組,求解之得到有限個節(jié)點處的待求變量。這一處理稱為“整體分析”。所以，有限元法實質(zhì)上是把具有無限個自由度的連續(xù)系統(tǒng)，理想化處理為只有有限個自由度的單元集合體，使問題轉(zhuǎn)化為適合于數(shù)值求解的結(jié)構(gòu)型問題有限元法具有下述特點：?概念清楚，容易理解?？梢栽诓煌乃缴辖⑵饘υ摲椒ǖ睦斫?。從使用的觀點來講，每個人的理論基礎(chǔ)不同，理解的深度也可以不同，既可以通過直觀的物理意義來學(xué)習(xí)，也可以從嚴格的力學(xué)概念和數(shù)學(xué)概念推導(dǎo)。?適應(yīng)性強，應(yīng)用范圍廣泛。有限元法可以用來求解工程中許多復(fù)雜的問題，特別是采用其他數(shù)值計算方

3、法(如有限差分法)求解困難的問題。如復(fù)雜結(jié)構(gòu)形狀問題，復(fù)雜邊界條件問題，非均質(zhì)、非線性材料問題，動力學(xué)問題等。目前，有限元法在理論上和應(yīng)用上還在不斷發(fā)展，今后將更加完善和使用范圍更加廣泛。?有限元法采用矩陣形式表達，便于編制計算機程序，可以充分利用高速數(shù)字計算機的優(yōu)勢。由于有限元法計算過程的規(guī)范化，目前在國內(nèi)外有許多通用程序，可以直接套用，非常方便。著名的有SAP系列，ADINA，ANSYS，ASKA，NASTRAN，MARK，ABAQUS等。?有限元法的主要缺點是解決工程問題必須首先編制(或具有)計算機程序，必須運用計算機求解。另外，有限元計算前的數(shù)據(jù)準(zhǔn)備、計算結(jié)果的數(shù)據(jù)整理工作量相當(dāng)大。

4、然而，在計算機日益普及的今天，使用計算機已不再困難。對于后一缺點可通過用計算機進行有限元分析的前、后處理來部分或全部地解決。特別是現(xiàn)在已經(jīng)有許多商業(yè)軟件可供使用，這個問題已不成為問題。有兩種通常與有限元方法相關(guān)的方法。一種方法叫做力法或柔度法，用內(nèi)力作為問題的未知量。第二種方法叫做位移法或剛度法，假定節(jié)點位移作為問題的未知量。這兩種方法在分析中得出不同的未知量(力或位移)，并得出與其公式相關(guān)的不同矩陣(柔度矩陣或剛度矩陣)。由于位移法的公式對于大多數(shù)結(jié)構(gòu)分析問題比較簡單，因此對于計算機求解，位移法(或剛度法)更符合要求，大多數(shù)有限元分析以位移為未知量。此外，絕大多數(shù)的通用有限元程序編入了求解

5、結(jié)構(gòu)問題的位移公式。因此，這里只介紹位移法。一般來講，有限元法包括下列三個主要步驟：?下面是對它們的較為詳細的說明：※結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)離散化即是常說的劃分單元，這一步驟涉及將物體劃分為具有相關(guān)節(jié)點的等價系統(tǒng)，選擇最適當(dāng)?shù)膯卧愋蛠碜罱咏啬M實際的物理性能。所用的單元總數(shù)和給定物體內(nèi)單元大小和類型的變化是需要工程判斷的主要問題。單元必須小到可以給出有用的結(jié)果，又不能過小以節(jié)省計算費用。計算結(jié)果會有劇烈變化，如幾何形狀改變的地方需要小單元(可能的話用高階單元)，結(jié)果變化小的地方可以用大單元。在有限元分析中，單元類型的選擇取決于實際受載條件下物體的物理構(gòu)成，也取決于分析人員所期望的對實際行為的近似

6、程度。必須判斷選擇一維、二維或三維進行理想化是否適當(dāng)。此外，對于特定的問題選擇最適當(dāng)?shù)膯卧窃O(shè)計人員和分析人員要進行的主要任務(wù)之一。常用的單元有線單元（如桿單元和梁單元）、面單元（如三角形單元和四邊形單元）和體單元（如四面體單元和六面體單元），根據(jù)單元形狀不同又有多種單元類型，例如對于面單元來講，有三角形單元、矩形單元、四邊單元，矩形單元中又分四節(jié)點矩形單元和八節(jié)點矩形單元等。還有一些特殊單元：彈簧單元、殼單元等?！鶈卧治鲇邢拊ㄒ话阋怨?jié)點位移作為基本未知量。單元分析主要針對一個單元，由單元節(jié)點位移來求內(nèi)部任一點的位移。由節(jié)點位移求單元應(yīng)變，應(yīng)力和節(jié)點力，最終建立單元節(jié)點力的力和位移的關(guān)系

7、，即建立單元剛度方程。單元分析的步驟可用框圖表示為（以應(yīng)力分析為例）在上述步驟中（Ⅰ）節(jié)點位移和單元內(nèi)部各點位移的關(guān)系是靠形函數(shù)的概念建立的：形函數(shù)（位移函數(shù)）是用單元的節(jié)點值在單元內(nèi)部定義的。線性、二次和三次多項式是常常使用的形函數(shù)，因為用它們建立有限元公式比較簡單。對于二維單元，形函數(shù)是其平面坐標(biāo)的函數(shù)。每個單元可重復(fù)使用同一個通用的形函數(shù)。因此有限元方法是這樣一種方法：一個連續(xù)量，如整個物體內(nèi)的位移，用