《有限元素法》PPT課件

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1、計算機(jī)在材料中的應(yīng)用主講教師武建軍第四章有限元素法數(shù)值方法的本質(zhì)就是把計算域內(nèi)有限位置（節(jié)點(diǎn)）上的因變量值當(dāng)作基本未知量來處理，任務(wù)是提供一組關(guān)于這些未知量的代數(shù)方程并規(guī)定求解這些方程的算法。有限元法是以變分原理為基礎(chǔ)吸取差分格式的思想而發(fā)展起來的一種有效的數(shù)值解法。有限元素法（FEM）是求解微分方程的一個常用數(shù)值解法。FEM的應(yīng)用領(lǐng)域50年代，有限元法首先從結(jié)構(gòu)力學(xué)中得到應(yīng)用，而后推廣到流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)等領(lǐng)域,現(xiàn)在已被廣泛用于物理和工程設(shè)計計算的很多領(lǐng)域。該方法逐漸成為求解許多數(shù)學(xué)物理方程邊值問題的高效能的方法。1FEM的基本思想及其特點(diǎn)利用FEM方法求解問題包括單元劃分、假定單元

2、分布函數(shù)、列出單元方程、聯(lián)立求解等幾個步驟。例如解決一個超靜定梁的問題，每一個桿件就可以作為一個單元來處理,可以列出自己的載荷與位移的關(guān)系方程(單元方程),然后聯(lián)立求解。1-2FEM的基本思想-里茲法用插值（或其它）方法用節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值構(gòu)建單元分布函數(shù)?；將?代入原來的微分方程，將得到有關(guān)節(jié)點(diǎn)變量值的代數(shù)方程組。求解代數(shù)方程組，獲得節(jié)點(diǎn)函數(shù)值。離散化方程仍受未知函數(shù)?的微分方程支配。單元劃分的意義在整個計算域內(nèi)尋找試探函數(shù)不太容易。如果將計算域劃分成一定數(shù)量的單元，單元分布函數(shù)容易建立。因?yàn)檫x取分段分布的結(jié)果，一定的離散方程只與少數(shù)幾個節(jié)點(diǎn)有關(guān)。一方面分布函數(shù)容易構(gòu)造，而且也容易求解

3、。分布函數(shù)的隨意性由于分布假設(shè)以及推導(dǎo)方法的不同，一個微分方程的離散化方程不是惟一的。因?yàn)橹恍枰獫M足本質(zhì)性邊界條件，而不必考慮自然邊界條件（第二、第三類邊界條件自動滿足），試探函數(shù)的選取是比較容易的。試探函數(shù)階次提高，解的精度也提高。當(dāng)網(wǎng)格特別細(xì)密時，相鄰節(jié)點(diǎn)之間的?變化就很小，因此單元內(nèi)分布假設(shè)的實(shí)際細(xì)節(jié)變得不再重要。離散化方程的解將趨近于相應(yīng)微分方程的精確解。單元形狀單元的形狀沒有限制。例如橢圓孔應(yīng)力集中集中問題，圖中將它劃分為三角形網(wǎng)絡(luò)。把原來的連續(xù)體簡化為由有限個三角形單元組成的離散體。其中三角形單元之間只在節(jié)點(diǎn)處用鉸鏈相連，把載荷按照靜力等效原則也轉(zhuǎn)移到節(jié)點(diǎn)處。1-2FEM

4、的特點(diǎn)物理概念清晰，特別是對于力學(xué)問題。靈活性與通用性。由于單元形狀靈活，易于處理復(fù)雜區(qū)域、復(fù)雜邊界條件。而對于具有規(guī)則的幾何特性和均勻的材料特性問題,差分法的程序設(shè)計比較簡單,收斂性也比有限元法好。有限元法同時具有里茲法與差分法的優(yōu)點(diǎn)，使變分問題的直接解法變成了工程計算中的現(xiàn)實(shí)。FEM的特點(diǎn)有限元素方法是物理量的矩陣分析方法在連續(xù)體中的有效推廣。每個元素都采用有限個參數(shù)來描述它的物理特性。有限元素方法是基于虛功原理,或者說是變分原理。它不象差分法那樣直接去解場方程,而是求解一個虛功取極小值的變分問題。FEM是解決復(fù)雜區(qū)域、邊界條件數(shù)學(xué)物理方程邊值問題的一種比較完美的離散化方法。本章

5、提要有限元素法的原理概要舉例說明如何運(yùn)用有限元素法彈性力學(xué)平面問題熱傳導(dǎo)問題比較有限元素法和有限差分法。2彈性力學(xué)基礎(chǔ)知識彈性力學(xué)研究宏觀均勻、各向同性固體的彈性變形，例如刃型位錯應(yīng)力場計算。嚴(yán)格地說，任何彈性體總是處在空間應(yīng)力狀態(tài)，因而實(shí)際問題都是三維空間問題。但是，有些彈性力學(xué)問題可以簡化為平面問題。平面應(yīng)力問題例如平面薄板的拉伸變形問題，由于厚度很小，而載荷又平行板面且沿厚度方向均勻分布，因此可以近似認(rèn)為沿厚度方向的應(yīng)力分量等于零。平面應(yīng)變問題水庫大壩的長度比高度和寬度要大得多，而載荷又都與橫斷面平行且沿長度方向均勻分布，可以認(rèn)為沿長度方向的應(yīng)變分量等于零，這種問題稱平面應(yīng)變問

6、題。2-1變形參數(shù)單元體彈性變形參數(shù)包括位移沿x,y,z軸的三個分量u,v,w力或載荷沿x,y,z軸的三個分量X,Y,Z應(yīng)變?ij（作用面垂直于i軸，指向j方向）i,j=x,y,z應(yīng)力?ij(規(guī)定同應(yīng)變)一般規(guī)定當(dāng)i=j,?ij為正應(yīng)變,表示線段伸長或縮短,可簡化為?i，如?x。一般規(guī)定，伸長應(yīng)變?yōu)檎?。i≠j，?ij表示切應(yīng)變（角應(yīng)變），表示兩線段之間夾角的變化。一般規(guī)定，直角變成銳角切應(yīng)變大于零。應(yīng)變分量有9個,一般有6個獨(dú)立分量。應(yīng)力分量與應(yīng)變分量類似，也有9個。2-2幾何方程2-3廣義虎克定律廣義虎克定律拉梅方程的其它形式廣義虎克定律平面應(yīng)力問題的虎克定律平面應(yīng)變問題的虎克定

7、律2-4力學(xué)平衡方程應(yīng)力與體積力，如重力之間的平衡其中fi分別是體積力在i方向上的分量。力學(xué)平衡方程應(yīng)力與表面力之間的平衡式中X、Y、Z是表面力的三個分量，l,m,n是表面外法線的方向余弦。3變分方法與虛功原理有限元法建立離散方程的方法有三類。直接法例如，超靜定桁架問題，每個組件就是一個元素。易于理解,但只能用于較簡單的問題，實(shí)際用途不大。變分法把有限元法歸結(jié)為求泛函的極值問題。使有限元法建立在更加堅實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上,擴(kuò)大了有限元法的應(yīng)用范圍。加權(quán)余量法直接