閱讀與思考函數(shù)概念的發(fā)展歷程

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1、在函數(shù)概念教學(xué)中要突出函數(shù)的本質(zhì)函數(shù)概念的本質(zhì)是：函數(shù)是兩個(gè)變量之間的一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系；函數(shù)概念所反映的思想方法是：自變量、因變量都取實(shí)數(shù)值（這樣才有可能用數(shù)及其運(yùn)算的知識(shí)來考察現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律）；因變量的取值有唯一性；用數(shù)以外的符號(hào)f(x)表示函數(shù)（具體表示形式可以是解析式、圖象或表格）．為了讓學(xué)生在經(jīng)歷函數(shù)概念的概括過程中，更好地體會(huì)其本質(zhì)和思想方法，我們遵循教材編寫意圖，在教學(xué)設(shè)計(jì)中強(qiáng)調(diào)通過一些具有真實(shí)背景的典型實(shí)例，從“變量說”出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生用集合與對(duì)應(yīng)的語言分析它們的共同特征，再概括出“對(duì)應(yīng)說”．這樣既銜接了初中階段將函數(shù)看成變量間依賴關(guān)系的認(rèn)識(shí)，又使學(xué)生在用集合與對(duì)

2、應(yīng)的語言刻畫函數(shù)概念的過程中形成對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的切身體驗(yàn)．有關(guān)函數(shù)的常見問題一般有兩類：一類是數(shù)學(xué)中有關(guān)函數(shù)的問題，包括單純的函數(shù)問題和函數(shù)與其它知識(shí)交匯的問題；另一類是建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題．靈活解決有關(guān)函數(shù)問題可以促進(jìn)對(duì)函數(shù)概念的進(jìn)一步深化．1.在解決數(shù)學(xué)問題的過程中把握函數(shù)概念本質(zhì)研究函數(shù)三要素、性質(zhì)、圖象是常見的問題，問題中所給函數(shù)的形式往往更為復(fù)雜或更為抽象，如給出的函數(shù)是分段函數(shù)、由一些基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算得到的函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、含有字母的函數(shù)、抽象函數(shù)等，雖然函數(shù)形式發(fā)生了很多變化，但它畢竟是非本質(zhì)變化，對(duì)應(yīng)的本質(zhì)不會(huì)改變．從“形”的角度觀察，兩個(gè)圖形都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

3、稱，左圖中，當(dāng)時(shí)，與它對(duì)應(yīng)的值有兩個(gè)，這不是函數(shù)圖象，此圖可以加深對(duì)函數(shù)概念的理解．從“數(shù)”的角度抽象函數(shù)性質(zhì)，右圖所描述的函數(shù)是奇函數(shù)，容易求得其解析式，證明它是奇函數(shù)則需要理解奇函數(shù)的本質(zhì)．先觀察其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后，分類討論以及時(shí)，都有，這需要正確理解函數(shù)概念本質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)用各段的對(duì)應(yīng)法則．2.在研究實(shí)際問題的過程中提升函數(shù)概念的本質(zhì)為了讓學(xué)生更深刻地體會(huì)函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，可以通過研究性學(xué)習(xí)或?qū)嵙?xí)作業(yè)，引導(dǎo)學(xué)生研究生活中兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)一步深化對(duì)函數(shù)概念的領(lǐng)悟和運(yùn)用．眾所周知，越是基礎(chǔ)性的概念，其統(tǒng)攝性就越強(qiáng)，應(yīng)用范圍就越廣，學(xué)生從中領(lǐng)悟

4、到的數(shù)學(xué)就越本質(zhì)，所形成的思維方式、養(yǎng)成的思維習(xí)慣對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展也就越有根本性影響．所以，對(duì)這些概念就越要強(qiáng)調(diào)理解的深刻性、基礎(chǔ)的穩(wěn)固性．但事物總有兩面性，這些概念的理解和掌握往往難度大、時(shí)間長，需要更多的經(jīng)驗(yàn)積累．“是非經(jīng)過故知難”，親身經(jīng)歷過的事情感悟才會(huì)深刻．因此，這些概念的教學(xué)要非常講究從簡單到綜合地組織內(nèi)容，要特別耐心地進(jìn)行循序漸進(jìn)的滲透和提高，要特別強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的概括過程．中學(xué)數(shù)學(xué)中，扮演這種奠基角色的概念不是很多（如數(shù)及其運(yùn)算、空間觀念、數(shù)形結(jié)合、向量、導(dǎo)數(shù)、統(tǒng)計(jì)觀念、隨機(jī)思想等），但函數(shù)概念是當(dāng)之無愧的一員．因此，教學(xué)設(shè)計(jì)中，我們以教材提供的概念概括

5、過程和素材為依據(jù)，特別注意以具體例證為載體化解函數(shù)的抽象性，為學(xué)生搭建理解的平臺(tái)，鋪設(shè)概括的路線和階梯，以幫助學(xué)生感悟函數(shù)概念的“本來面目”．其中特別注重典型實(shí)例、表格和圖像直觀等的作用，并強(qiáng)調(diào)在思想方法上給予明確、具體的指導(dǎo)．（1）鋪設(shè)概括路線．教材在簡要回顧初中函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，以三個(gè)有真實(shí)背景的實(shí)例為載體，先從“變量說”出發(fā)，并用集合與對(duì)應(yīng)的語言詳細(xì)講解第一個(gè)實(shí)例的對(duì)應(yīng)關(guān)系，再引導(dǎo)學(xué)生模仿敘述后兩個(gè)實(shí)例的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后以“你能概括一下這三個(gè)實(shí)例的共同特征嗎？”為引導(dǎo)，使學(xué)生概括實(shí)例的本質(zhì)而形成“對(duì)應(yīng)說”．接著，在函數(shù)的表示、函數(shù)的性質(zhì)等內(nèi)容中，不斷強(qiáng)化對(duì)函數(shù)這一類特殊“對(duì)應(yīng)關(guān)

6、系”的認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化對(duì)函數(shù)所研究的問題和思想方法的理解．教材鋪設(shè)的這一概括路線符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，是設(shè)計(jì)教學(xué)過程的基本依據(jù)．（2）選擇典型、豐富的實(shí)例．教材提供的實(shí)例是精雕細(xì)琢的，特別強(qiáng)調(diào)了典型性和豐富性，我們相信這些例子在學(xué)生理解函數(shù)概念中能起到奠基性的“參照物”作用．因此，在函數(shù)概念的引入、表示、性質(zhì)和應(yīng)用等各階段的教學(xué)中，都應(yīng)用好書中的例子，為學(xué)生提供思考、探究、交流的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在好例子的支持下開展思維，形成函數(shù)概念理解活動(dòng)的強(qiáng)大背景支撐．（3）強(qiáng)調(diào)只能用圖像、表格表示的函數(shù)例子的作用．表格、函數(shù)圖像不僅是“表示法”的一種，從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度看，它們使抽象的函數(shù)符號(hào)形象化，為學(xué)生

7、提供了直觀的機(jī)會(huì)．例如圖像的種種形象和基本性質(zhì)使得學(xué)生直觀地“看到”、想象到函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等種種性質(zhì)，看到a的取值是如何決定y＝ax的特性的，看到y(tǒng)＝sin(2x+)什么時(shí)候取正值或負(fù)值等．所以，圖像、表格是幫助學(xué)生理解函數(shù)概念的重要載體．另外，用函數(shù)圖像分析和解決問題時(shí)體現(xiàn)出的數(shù)形結(jié)合思想，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要載體．教材充分注意到了圖像、表格的作用，其中特別強(qiáng)調(diào)了只能用圖象、表格表示的函數(shù)例子的使用．我們體會(huì)，教材這樣做既是為了提升學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)