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《裂項(xiàng)相消法求和之再研究》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。
1、裂項(xiàng)相消法求和之再研究一、多項(xiàng)式數(shù)列求和。（1）用裂項(xiàng)相消法求等差數(shù)列前n項(xiàng)和。即形如=cm+h的數(shù)列求前n項(xiàng)和此類(lèi)型可設(shè)J=(An2+Bn)一[A(n-1)2+B(n—1)]=初+b左邊化簡(jiǎn)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等求111A,B.則Sn=4]+?—卜a”=(A+B)—0+(4A+2B)—(A+B)+(94+3B)—(4A+2B)+…+(An2+Bn)-[A(n-1)2+B(n-1)]=An2+Bn例1：已知數(shù)列｛陽(yáng)｝的通項(xiàng)公式為an=2n-lf求它的前n項(xiàng)和S”。解:令a”=(An2+Bn)-[A(n一l)2+B(h-1)J=
2、2h-1貝l^afl=2An+B-A=2n-lt(2A=2(A=l，[B-A=-]^[B=Ocin=n~—(/?—l)?SfJ=+⑦+色…+a”=1+2~—1+3~—2~+???+a?*■—(n—1)~=n~（2）用裂項(xiàng)相消法求多項(xiàng)式數(shù)列前n項(xiàng)和。即形如匕=b”i嚴(yán)+b心嚴(yán)+..?+b“+%的數(shù)列求前n項(xiàng)和。此類(lèi)型可設(shè)^=（c〃””+c』z+--+cln）-[cM（n-l）m+cm_{（n-1）W_1+…+軸-1）]=船』嚴(yán)+0/嚴(yán)+???+切+%上邊化簡(jiǎn)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得到一個(gè)含有m元一次方程組。說(shuō)明：解這個(gè)方程組采
3、用代入法，不難求。系數(shù)化簡(jiǎn)可以用二項(xiàng)式定理，這里不解釋。解出C],C2,…，cm0再裂項(xiàng)相消法用易知Sn=C””"+C』嚴(yán)+???+￥例2：已知數(shù)列｛色｝的通項(xiàng)公式為色=/?,求它的前n項(xiàng)和S”。M：設(shè)a”=(An4A=1—64+3B=04A—3B+2C=0一A+B-C+D=O+Bn3+Cn2+Dn)-[A(n-l)4+B(n-l)3+C(n-I)2+D(n-1)]=A(4n3-6n2+4比一1)+B(3n2-3n+l)+C(2n-l)+D=4An3+(-6A+3B)n2+(4A-33+2C)n+(-A+B-C+D)
4、2+…+?(/?+!)、2)二、多項(xiàng)式數(shù)列與等比數(shù)列乘積構(gòu)成的數(shù)列。(1)用裂項(xiàng)相消法求等比數(shù)列前n項(xiàng)和。即形如①?lài)?yán)呵的數(shù)列求前n項(xiàng)和。這里不妨設(shè)QH1。(今=1時(shí)為常數(shù)列，前n項(xiàng)和顯然為=an)此類(lèi)型可設(shè)=Xqn-Aqn~3n+l_n2-3n,則有an=(A--)qn=aqn.從而有A--=a,A=-^-o再用裂項(xiàng)qqq-i相消法求得S?I=Aqn-A例3：已知數(shù)列｛匕｝的通項(xiàng)公式為色=3",求它的前n項(xiàng)和S”。94QQ,,+13"則有吹丁?"從而有仁，故仔〒丁???S”=嗎+色+込…+色=g(3?—3+3?—3
5、?+3"—3?++…+3,?+,-3n)=
6、(3?,+1-3)(2)用裂項(xiàng)相消法求等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積構(gòu)成的數(shù)列前n項(xiàng)和。即形如atJ=(an^-h)qn的數(shù)列求前n項(xiàng)和。此類(lèi)型通常的方法是乘公比錯(cuò)位錯(cuò)位相減法，其實(shí)也可以用裂項(xiàng)相消法。這里依然不妨設(shè)QH1,(g=1時(shí)為等差數(shù)列，不再贅述。)可設(shè)色=(加+B)g”-[心-1)+8]廣1,貝!
7、有a”=[(Ag_A)M+Bg+A_B)g”T=(aqn+bq)曠',從而得到方程組—二兩，繼而解出A,Bo再用裂項(xiàng)相消法求得S“=(An+B)g”-B[Bq-^A-B=bqn
8、吆例4：已知數(shù)列｛d”｝的通項(xiàng)公式為色=/3",求它的前n項(xiàng)和S“。解：設(shè)an=(An+B)3n-[A(n-1)+B]3n_,,則有%=[2An+2B+A)3"_=3n-3n_,,3從而得到方程組[2A=3，解得A=2。a二色匚1.3曲一？口3’2B+A=0彳44B=——4/.S/i=6z]+?2+^---+^=^[32+3+3x32-32+5x33-3x32+???+(2n-l)-3,,+1-(2n-3)-3/?J=^L(27?-l)-3,,+1+3](3)用裂項(xiàng)相消法求多項(xiàng)式數(shù)列與等比數(shù)列乘積構(gòu)成的數(shù)列前n項(xiàng)和。
9、即形如色二+仇3嚴(yán)彳+???/+%"的數(shù)列求前n項(xiàng)和。此類(lèi)型有一個(gè)采用m次錯(cuò)位相減法的方法求出，但是當(dāng)次數(shù)較高時(shí)錯(cuò)位相減法的優(yōu)勢(shì)就完全失去了。同樣這里依然不妨設(shè)qHl,(q=1時(shí)為多項(xiàng)式數(shù)列，不再贅述。)下面介紹錯(cuò)位相減法的方法：設(shè)陽(yáng)=（心”'"+氏/心+…+中+q）7T砒心-1嚴(yán)+心2（〃-1嚴(yán)2+…+3“-1）+坊）廣o先對(duì)上式化簡(jiǎn)成％=（c〃y心+q_2兄心+…+C"+G）g"的形式，其中q,c;,???c心是用B（）,q,…場(chǎng)來(lái)表示的一次式子。同樣讓對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得到一個(gè)m元一次方程組，用代入法可以解出Bo，B
10、“?B心再用用裂項(xiàng)相消法求得Sn=（B』t+Bm_2nm-1(?+!)(/?+2)2(/?+!)(/?+2)+…+B+B°）q”-B°。例5：已知數(shù)列｛匕｝的通項(xiàng)公式為d”=z?.2“，求它的前口項(xiàng)和S〃。A=2從而得到J2A+B=0—A+B+C=0解：設(shè)色=（加2+心+02"—[A（〃一ly+BS—1）+02心，貝I」有色=（/V『+（2
