渦量輸運(yùn)方程

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1、粘性流體運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)包括：運(yùn)動(dòng)的有旋性，旋渦的擴(kuò)散性，能量的耗散性。1、粘性流體運(yùn)動(dòng)的渦量輸運(yùn)方程為了討論旋渦在粘性流體流動(dòng)中的性質(zhì)和規(guī)律，推導(dǎo)渦量輸運(yùn)方程是必要的。推導(dǎo)過(guò)程如下：其Lamb型方程是：引入廣義牛頓內(nèi)摩擦定理：Lamb型方程變?yōu)椋簩?duì)上式兩邊取旋度，得到：整理后得到：這是最一般的渦量輸運(yùn)方程。該式清楚地表明：流體的粘性、非正壓性和質(zhì)量力無(wú)勢(shì)，是破壞旋渦守恒的根源。在這三者中，最常見(jiàn)的是粘性作用。由于：（1）如果質(zhì)量力有勢(shì)、流體正壓、且無(wú)粘性，則渦量方程簡(jiǎn)化為：這個(gè)方程即為Helmholtz渦量守恒方程。（2）如果質(zhì)量力有勢(shì)，流體為不可壓縮粘性流體，則渦量

2、輸運(yùn)方程變?yōu)椋簭埩啃问綖椤＃?）對(duì)于二維流動(dòng)，上式簡(jiǎn)化為：2、粘性流體運(yùn)動(dòng)的有旋性理想流體運(yùn)動(dòng)可以是無(wú)旋的，也可以是有旋的。但粘性流體運(yùn)動(dòng)一般總是有旋的。用反證法可說(shuō)明這一點(diǎn)。對(duì)于不可壓縮粘性流體，其運(yùn)動(dòng)方程組為：根據(jù)場(chǎng)論知識(shí)，有：代入上式，得到：如果流動(dòng)無(wú)旋，則：這與不可壓縮理想流體的方程組完全相同，粘性力的作用消失，說(shuō)明粘性流體流動(dòng)與理想流體流動(dòng)完全相同，且原方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)也發(fā)生了變化，由原來(lái)的二階偏微分方程組變成一階偏微分方程組。但問(wèn)題出在固壁邊界上。在粘性流體中，固壁面的邊界條件是：不穿透條件和不滑移條件，即：。要求降階后的方程組同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)邊界條件一般是不

3、可能的。這說(shuō)明粘性流體流動(dòng)一般總是有旋的。但也有特例。如果固壁的切向速度正好等于固壁面處理想流體的速度，也就是固壁面與理想流體質(zhì)點(diǎn)不存在相對(duì)滑移，這時(shí)不滑移條件自動(dòng)滿(mǎn)足，這樣理想流體方程自動(dòng)滿(mǎn)足固壁面邊界條件。說(shuō)明在這種情況下，粘性流體流動(dòng)可以是無(wú)渦的。但一般情況下，固壁面與理想流體質(zhì)點(diǎn)總是存在相對(duì)滑移的，受流體粘性的作用，必然要產(chǎn)生旋渦。由此可得出結(jié)論：粘性流體旋渦是由存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)的固壁面與流體的粘性相互作用產(chǎn)生的。3、粘性流體旋渦的擴(kuò)散性粘性流體中，旋渦的大小不僅可以隨時(shí)間產(chǎn)生、發(fā)展、衰減、消失，而且還會(huì)擴(kuò)散，渦量從強(qiáng)度大的地方向強(qiáng)度小的地方擴(kuò)散，直至旋渦強(qiáng)度均衡

4、為止。以一空間孤立渦線的擴(kuò)散規(guī)律為例說(shuō)明之。渦線強(qiáng)度的定解問(wèn)題為：這是一個(gè)擴(kuò)散方程的定解問(wèn)題，其解為：4、粘性流體能量的耗散性在粘性流體中，流體運(yùn)動(dòng)必然要克服粘性應(yīng)力作功而消耗機(jī)械能。粘性流體的變形運(yùn)動(dòng)與機(jī)械能損失是同時(shí)存在的，而且機(jī)械能的耗散與變形率的平方成正比，因此粘性流體的機(jī)械能損失是不可避免的。