渦量流函數(shù)方法 平板驅動流 數(shù)值模擬

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1、《計算流體力學》課程大作業(yè)——基于渦量-流函數(shù)法的不可壓縮方腔驅動流問題數(shù)值模擬張伊哲航博1011、引言和綜述2、問題的提出，怎樣使用渦量-流函數(shù)方法建立差分格式3、程序說明4、計算結果和討論5、結論1引言雖然不可壓縮流動的控制方程從形式上看更為簡單，但實際上，目前不可壓縮流動的數(shù)值方法遠遠不如可壓縮流動的數(shù)值方法成熟?？紤]不可壓縮流動的N-S方程：(1.1)其中是運動粘性系數(shù)，認為是常數(shù)。將方程組寫成無量綱的形式：(1.2)其中Re是雷諾數(shù)。從數(shù)學角度看，不可壓縮流動的控制方程中不含有密度對時間的偏導數(shù)項，方程表現(xiàn)出橢

2、圓-拋物組合型的特點；從物理意義上看，在不可壓縮流動中，壓力這一物理量的波動具有無窮大的傳播速度，它瞬間傳遍全場，以使不可壓縮條件在任何時間、任何位置滿足，這就是橢圓型方程的物理意義。這就造成不可壓縮的N-S方程不能使用比較成熟的發(fā)展型偏微分方程的數(shù)值求解理論和方法。如果將動量方程和連續(xù)性方程完全耦合求解，即使使用顯示的離散格式，也將會得到一個剛性很強的、龐大的稀疏線性方程組，計算量巨大，更重要的問題是不易收斂。因此，實際應用中，通常都必須將連續(xù)方程和動量方程在一定程度上解耦。目前，求解不可壓縮流動的方法主要有渦量-流函

3、數(shù)法，SIMPLE法及其衍生的改進方法，有限元法，譜方法等，這些方法各有優(yōu)缺點。其中渦量-流函數(shù)法是解決二維不可壓縮流動的有效方法。作者本學期學習了研究生計算流體課程，為了熟悉計算流體的基本方法，選擇使用渦量-流函數(shù)法計算不可壓縮方腔驅動流問題，并且對于不同雷諾數(shù)下的解進行比較和分析，得出一些結論。本文接下來的內容安排為：第2節(jié)提出不可壓縮方腔驅動流問題，并分析該問題怎樣使用渦量-流函數(shù)方法建立差分格式、選擇邊界條件。第3節(jié)介紹程序的結構。第4節(jié)13/13對于不同雷諾數(shù)下的計算結果進行分析，并且與U.GHIA等人【1】的

4、經(jīng)典結論進行對比，評述本文所采用的計算方法。第五節(jié)給出結論。2問題的提出和分析2.1經(jīng)典方腔驅動流問題考慮如下圖所示的長度為1的正方形腔體，腔體上有一平板以速度U=1運動，其它三邊為固壁條件。圖1.方腔驅動流示意圖頂蓋方腔驅動流問題是個很經(jīng)典的問題，常常用于驗證不可壓縮流動數(shù)值方法的正確性。U.GHIA等人于1982年發(fā)表的一篇文獻（見文獻【1】）計算了Re從100到的流動結果，其結果得到廣泛的認同。2.2渦量-流函數(shù)方法簡介渦量-流函數(shù)法的基本思想是引入渦量和流函數(shù)：引入渦量，可以消去方程中的壓力項，而引入流函數(shù)，可以

5、使連續(xù)方程自然滿足。下面對該方法進行簡單推導：考慮二維問題，將式(1.2)寫成分量形式：式(1.4)對求偏導數(shù)減去式(1.5)對求偏導數(shù)，考慮到13/13，推導出渦量滿足的方程為(1.6)然后引入流函數(shù)，定義為(1.7)可見，連續(xù)性方程(1.3)自然成立。與的關系為(1.8)式(1.6)~(1.8)構成了一個封閉的方程組，由(1.6)計算出渦量，再由(1.8)式計算出流函數(shù)，利用(1.7)式計算出速度。這個方程組的特點是求解速度的時候完全不用考慮壓力項。若還需要求解壓力場，則可以把式(1.4)對求偏導數(shù)，式式(1.5)對

6、求偏導數(shù)，二者求和后整理得到關于壓力的Poisson方程(1.9)以上推導出的渦量-流函數(shù)法在計算二維問題時很成功，但是三維流動的流函數(shù)沒有直觀的物理意義，無法像二維流動一樣直接定義，需要引入多個流函數(shù)，相應解多個Poisson方程，計算量很大，并不實用。對于本文的二維問題，該方法就簡單易行。2.3建立差分格式2.3.1劃分網(wǎng)格方腔驅動流的流動區(qū)域很簡單，均勻劃分為正方形的結構網(wǎng)格即可，存儲網(wǎng)格時，x方向使用標號i表示，y方向使用標號j表示，x和y方向的最大網(wǎng)格點標號分別為M和N。對于Re小于等于1000的情況，使用10

7、0*100網(wǎng)格，Re大于1000后的情況，使用256*256網(wǎng)格。計算域如圖2所示：13/13圖2.100*100的均分網(wǎng)格2.3.2建立差分方程由于本題關注的是方腔內部的流動狀態(tài)，對于壓力分布不關心，因此不用建立壓力的差分方程。渦量的對流擴散方程(1.6)使用FTCS格式離散得到：(1.10)該差分格式時間方向為1階精度，空間方向為2階精度。在(1.10)中，速度分量取的是n時刻的值，已經(jīng)對方程進行了線性化處理。流函數(shù)的Poisson方程中，二階導數(shù)都用中心差分離散：(1.11)這種中心差分可達到二階精度。2.3.3設

8、定邊界條件（1）速度和流函數(shù)的邊界條件由于沿著壁面是一條流線，所以流函數(shù)在邊界是常值，可以取為0；速度在邊界滿足無滑移條件。上邊界（）：；下邊界（）：；13/13左邊界（）：；右邊界（）：；（2）渦量的邊界條件根據(jù)渦量的定義，在上下邊界，，所以；在左右邊界，，所以。；左邊界（）：這里引入了虛擬網(wǎng)格點（-1,j），注意