渦量流函數(shù)方法 平板驅(qū)動(dòng)流 數(shù)值模擬

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1、《計(jì)算流體力學(xué)》課程大作業(yè)——基于渦量-流函數(shù)法的不可壓縮方腔驅(qū)動(dòng)流問(wèn)題數(shù)值模擬張伊哲航博1011、引言和綜述2、問(wèn)題的提出，怎樣使用渦量-流函數(shù)方法建立差分格式3、程序說(shuō)明4、計(jì)算結(jié)果和討論5、結(jié)論1引言雖然不可壓縮流動(dòng)的控制方程從形式上看更為簡(jiǎn)單，但實(shí)際上，目前不可壓縮流動(dòng)的數(shù)值方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如可壓縮流動(dòng)的數(shù)值方法成熟?？紤]不可壓縮流動(dòng)的N-S方程：(1.1)其中是運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)，認(rèn)為是常數(shù)。將方程組寫成無(wú)量綱的形式：(1.2)其中Re是雷諾數(shù)。從數(shù)學(xué)角度看，不可壓縮流動(dòng)的控制方程中不含有密度對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，方程表現(xiàn)出橢

2、圓-拋物組合型的特點(diǎn)；從物理意義上看，在不可壓縮流動(dòng)中，壓力這一物理量的波動(dòng)具有無(wú)窮大的傳播速度，它瞬間傳遍全場(chǎng)，以使不可壓縮條件在任何時(shí)間、任何位置滿足，這就是橢圓型方程的物理意義。這就造成不可壓縮的N-S方程不能使用比較成熟的發(fā)展型偏微分方程的數(shù)值求解理論和方法。如果將動(dòng)量方程和連續(xù)性方程完全耦合求解，即使使用顯示的離散格式，也將會(huì)得到一個(gè)剛性很強(qiáng)的、龐大的稀疏線性方程組，計(jì)算量巨大，更重要的問(wèn)題是不易收斂。因此，實(shí)際應(yīng)用中，通常都必須將連續(xù)方程和動(dòng)量方程在一定程度上解耦。目前，求解不可壓縮流動(dòng)的方法主要有渦量-流函

3、數(shù)法，SIMPLE法及其衍生的改進(jìn)方法，有限元法，譜方法等，這些方法各有優(yōu)缺點(diǎn)。其中渦量-流函數(shù)法是解決二維不可壓縮流動(dòng)的有效方法。作者本學(xué)期學(xué)習(xí)了研究生計(jì)算流體課程，為了熟悉計(jì)算流體的基本方法，選擇使用渦量-流函數(shù)法計(jì)算不可壓縮方腔驅(qū)動(dòng)流問(wèn)題，并且對(duì)于不同雷諾數(shù)下的解進(jìn)行比較和分析，得出一些結(jié)論。本文接下來(lái)的內(nèi)容安排為：第2節(jié)提出不可壓縮方腔驅(qū)動(dòng)流問(wèn)題，并分析該問(wèn)題怎樣使用渦量-流函數(shù)方法建立差分格式、選擇邊界條件。第3節(jié)介紹程序的結(jié)構(gòu)。第4節(jié)13/13對(duì)于不同雷諾數(shù)下的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析，并且與U.GHIA等人【1】的

4、經(jīng)典結(jié)論進(jìn)行對(duì)比，評(píng)述本文所采用的計(jì)算方法。第五節(jié)給出結(jié)論。2問(wèn)題的提出和分析2.1經(jīng)典方腔驅(qū)動(dòng)流問(wèn)題考慮如下圖所示的長(zhǎng)度為1的正方形腔體，腔體上有一平板以速度U=1運(yùn)動(dòng)，其它三邊為固壁條件。圖1.方腔驅(qū)動(dòng)流示意圖頂蓋方腔驅(qū)動(dòng)流問(wèn)題是個(gè)很經(jīng)典的問(wèn)題，常常用于驗(yàn)證不可壓縮流動(dòng)數(shù)值方法的正確性。U.GHIA等人于1982年發(fā)表的一篇文獻(xiàn)（見(jiàn)文獻(xiàn)【1】）計(jì)算了Re從100到的流動(dòng)結(jié)果，其結(jié)果得到廣泛的認(rèn)同。2.2渦量-流函數(shù)方法簡(jiǎn)介渦量-流函數(shù)法的基本思想是引入渦量和流函數(shù)：引入渦量，可以消去方程中的壓力項(xiàng)，而引入流函數(shù)，可以

5、使連續(xù)方程自然滿足。下面對(duì)該方法進(jìn)行簡(jiǎn)單推導(dǎo)：考慮二維問(wèn)題，將式(1.2)寫成分量形式：式(1.4)對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)減去式(1.5)對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，考慮到13/13，推導(dǎo)出渦量滿足的方程為(1.6)然后引入流函數(shù)，定義為(1.7)可見(jiàn)，連續(xù)性方程(1.3)自然成立。與的關(guān)系為(1.8)式(1.6)~(1.8)構(gòu)成了一個(gè)封閉的方程組，由(1.6)計(jì)算出渦量，再由(1.8)式計(jì)算出流函數(shù)，利用(1.7)式計(jì)算出速度。這個(gè)方程組的特點(diǎn)是求解速度的時(shí)候完全不用考慮壓力項(xiàng)。若還需要求解壓力場(chǎng)，則可以把式(1.4)對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，式式(1.5)對(duì)

6、求偏導(dǎo)數(shù)，二者求和后整理得到關(guān)于壓力的Poisson方程(1.9)以上推導(dǎo)出的渦量-流函數(shù)法在計(jì)算二維問(wèn)題時(shí)很成功，但是三維流動(dòng)的流函數(shù)沒(méi)有直觀的物理意義，無(wú)法像二維流動(dòng)一樣直接定義，需要引入多個(gè)流函數(shù)，相應(yīng)解多個(gè)Poisson方程，計(jì)算量很大，并不實(shí)用。對(duì)于本文的二維問(wèn)題，該方法就簡(jiǎn)單易行。2.3建立差分格式2.3.1劃分網(wǎng)格方腔驅(qū)動(dòng)流的流動(dòng)區(qū)域很簡(jiǎn)單，均勻劃分為正方形的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格即可，存儲(chǔ)網(wǎng)格時(shí)，x方向使用標(biāo)號(hào)i表示，y方向使用標(biāo)號(hào)j表示，x和y方向的最大網(wǎng)格點(diǎn)標(biāo)號(hào)分別為M和N。對(duì)于Re小于等于1000的情況，使用10

7、0*100網(wǎng)格，Re大于1000后的情況，使用256*256網(wǎng)格。計(jì)算域如圖2所示：13/13圖2.100*100的均分網(wǎng)格2.3.2建立差分方程由于本題關(guān)注的是方腔內(nèi)部的流動(dòng)狀態(tài)，對(duì)于壓力分布不關(guān)心，因此不用建立壓力的差分方程。渦量的對(duì)流擴(kuò)散方程(1.6)使用FTCS格式離散得到：(1.10)該差分格式時(shí)間方向?yàn)?階精度，空間方向?yàn)?階精度。在(1.10)中，速度分量取的是n時(shí)刻的值，已經(jīng)對(duì)方程進(jìn)行了線性化處理。流函數(shù)的Poisson方程中，二階導(dǎo)數(shù)都用中心差分離散：(1.11)這種中心差分可達(dá)到二階精度。2.3.3設(shè)

8、定邊界條件（1）速度和流函數(shù)的邊界條件由于沿著壁面是一條流線，所以流函數(shù)在邊界是常值，可以取為0；速度在邊界滿足無(wú)滑移條件。上邊界（）：；下邊界（）：；13/13左邊界（）：；右邊界（）：；（2）渦量的邊界條件根據(jù)渦量的定義，在上下邊界，，所以；在左右邊界，，所以。；左邊界（）：這里引入了虛擬網(wǎng)格點(diǎn)（-1,j），注意