淺談小波分析

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1、淺談小波分析摘耍：小波分析已成為當(dāng)代最重要的數(shù)學(xué)工具之一。本文簡(jiǎn)耍敘述了小波的由來(lái)和發(fā)展過(guò)程，并且闡述了本人對(duì)小波的理解，以及進(jìn)行了小波分析與傅里葉分析之間的比較，最后對(duì)小波發(fā)展進(jìn)行一些展望。關(guān)鍵字：小波變換；傅里葉變換；0.引言當(dāng)代社會(huì)時(shí)信息社會(huì)，諸多領(lǐng)域都會(huì)涉及到信號(hào)處理的問(wèn)題。長(zhǎng)期以來(lái)，傅里葉變換一直是信號(hào)處理最垂耍的工具，并目己經(jīng)發(fā)展了一套內(nèi)容非常豐富并在許多實(shí)際問(wèn)題中行之有效的方法。但是，傅里葉變換分析方法存在著一定的局限性與弱點(diǎn)，傅里葉變換雖然提供了信號(hào)在頻率域上的詳細(xì)特征，卻把吋間域上的特征完全丟失了。而在實(shí)際中，瞬變信號(hào)(非平穩(wěn)信號(hào))大量存在，對(duì)這一類

2、信號(hào)進(jìn)行處理分析，通常需要提取某一時(shí)間段(或瞬間)的頻域信息或某一頻域段所對(duì)應(yīng)的時(shí)間信息。小波變換不僅繼承和發(fā)展了傅里葉變換的一些思想和理論，也克服了其缺點(diǎn)，是一種比較理想的信號(hào)處理的數(shù)學(xué)工具。小波變換作為信號(hào)處理的一種手段，被越來(lái)越多的理論工作者和工程技術(shù)人員所重視和應(yīng)用，并在許多應(yīng)用中取得了顯著的效果，同傳統(tǒng)的處理方法相比，產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，證明了小波技術(shù)作為一種調(diào)和分析方法，具有十分巨大的生命力和廣闊的應(yīng)用前景。小波分析雖然已形成了一門獨(dú)立的學(xué)科，但傅里葉分析的方法、理論和命題,是小波分析理論中不可缺少的部分。前文已指出傅里葉分析是頻譜分析，而小波分析是頻帶分析，

3、二者具有互補(bǔ)的作用。盡管小波分析具有種種優(yōu)越性，但對(duì)某些信號(hào)，傅里葉分析還是適用的、方便的。小波分析是對(duì)傅里葉分析的發(fā)展，而傅里葉分析是對(duì)小波分析的支撐。它們同是信號(hào)分析中的方法。小波理論的進(jìn)一步發(fā)展仍然離不開(kāi)傅里葉分析的理論和方法。1.小波理論的來(lái)源傅里葉分析是一種頻譜分析，它能清楚揭示信號(hào)/⑴的頻譜結(jié)構(gòu)，因此在信號(hào)分析中長(zhǎng)期占據(jù)著突出的地位。但是它也存在著不可避免的缺點(diǎn)，即傅里葉系數(shù)是信號(hào)/⑴在整個(gè)時(shí)間域上的加權(quán)平均。要想用它們的系數(shù)來(lái)反映信號(hào)/(/)在時(shí)間域上的局部性質(zhì)是不可能的，而信號(hào)的同部性質(zhì)無(wú)論是在理論研究方面，還是在實(shí)際應(yīng)用方面都是十分重要的。長(zhǎng)期以來(lái)，

4、數(shù)學(xué)家與工程師在努力尋找函數(shù)空間Z?(R)的一種函數(shù)基，使得這種函數(shù)基既能保持指數(shù)函數(shù)基的優(yōu)點(diǎn)，又能彌補(bǔ)指數(shù)函數(shù)基的不足，并且希望這種函數(shù)基是Ft!某個(gè)具有光滑性、緊支撐性和較高的消失矩的函數(shù)通過(guò)伸縮和平移而生成的函數(shù)族?，F(xiàn)在稱這種函數(shù)基為小波基，對(duì)它的存在性、構(gòu)造和性質(zhì)的研究便構(gòu)成小波分析研究的內(nèi)容。1.1傅里葉分析及其不足自1822年Fourier發(fā)表他的熱傳導(dǎo)解析理論以來(lái)，分析便成為最完美的數(shù)學(xué)理論和最廣泛被應(yīng)用著的數(shù)學(xué)方法之一。但是直到1965年，美國(guó)貝爾實(shí)驗(yàn)室的Cooley和Tukey兩位工程師綜合前人的研究成果，在大量模擬的基礎(chǔ)上，提出了影響深遠(yuǎn)的快速傅里

5、葉變換，即FFT。從此，傅里葉分析方法真正走向?qū)嵺`，成為人家鐘愛(ài)的一種數(shù)學(xué)工具。很難發(fā)現(xiàn)一門自然科學(xué)或工程技術(shù)與傅里葉分析沒(méi)有聯(lián)系。傅里葉變換簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)表達(dá)式，使人感受到一種美感。傅里葉變換定義了“頻率''的概念，用它可以分析信號(hào)能量在各個(gè)頻率成分中的分布情況。對(duì)信號(hào)/(r)eL2(A),其傅里葉變換為:盡管傅里葉分析法有種種優(yōu)點(diǎn)，但其自身也有不足之處：⑴為了用式⑴從模擬信號(hào)/(r)+捉取頻譜信息FQ),耍取無(wú)限的時(shí)間量，而使用過(guò)去和將來(lái)的信號(hào)信息只為計(jì)算單個(gè)頻率血的頻譜；(2)式(1)沒(méi)有反映出隨吋間變化的頻率，實(shí)際上，我們需耍確定吋間間隔，使得在任何希望的頻帶上產(chǎn)

6、生頻譜信息；(3)在/?(&以外空間，變換系數(shù)不能刻畫(huà)信號(hào)/⑴或它的頻譜尸⑹)所在的空(4)分析高頻信息需耍相對(duì)小的吋間間隔以給岀較好的精度，而分析低頻信息，則需耍相對(duì)寬的時(shí)間間隔以給出完全的信息，即需耍一個(gè)可變得吋間■頻率窗口，使其在高頻時(shí)自動(dòng)變窄，而在低頻吋自動(dòng)變寬。但是傅里葉變換無(wú)法提供一個(gè)靈活可變的時(shí)■頻窗，所以它無(wú)法完成局部分析。1.2小波分析發(fā)展的基本過(guò)程小波分析就是為了克服傅里葉分析的這些不足而發(fā)展起來(lái)的。從小波變換的發(fā)展過(guò)程來(lái)說(shuō)，大致可分成三個(gè)階段：第一階段：小波分析思想的萌芽及孤立應(yīng)用吋期，主耍特征是一些特姝構(gòu)造的小波在某些科學(xué)研究領(lǐng)域的特定問(wèn)題上的

7、應(yīng)用。其思想起源可以追溯到本世紀(jì)初，1910年A.H遜利用伸縮平移思想構(gòu)造了第一個(gè)規(guī)范正交小波基，即Haar系。1938年，Littlewoods和Paley提出了按二進(jìn)制頻率成分分組的理論，這便成為多尺度分析的思想雛形。70年代是小波分析發(fā)展的關(guān)鍵吋期，Calderon表示定理和Hardy空間的原子分解及無(wú)條件基的大量研究為小波分析的誕生提供了理論上的準(zhǔn)備。這個(gè)時(shí)期最具代表性的工作是，法國(guó)地球物理學(xué)家J.Morlet和A.Grossman第一次把“小波"用來(lái)分析地震數(shù)據(jù)，并提出了小波分析的概念。計(jì)算機(jī)視覺(jué)專家D.Mair在他的“零交差"理論中使用了