數(shù)學(xué)解題策略例說(shuō)

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1、數(shù)學(xué)解題策略例說(shuō)江蘇省太倉(cāng)高級(jí)中V徐彩娥學(xué)數(shù)學(xué)離不開解題，解題離不開解題策略，而對(duì)一道數(shù)學(xué)題，我們應(yīng)如何合理探求解題思路呢？對(duì)此本文作些探討，僅供參考。一.著眼“定義”事半功倍定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，優(yōu)先考慮從定義入手解題，注意挖掘隱含條件，往往可找到解題途徑，簡(jiǎn)化解題途徑。XV例1?已知橢ISI—+—=1,A(4,0),B(2,2)是橢圓內(nèi)的兩點(diǎn)，P是橢圓上任一259點(diǎn),求：(1)-PAMPB的最小值；4(2)IP4I+IPBI的最小值和最人值。(1)如圖I，A為橢圓的右焦點(diǎn)，作PQ丄右準(zhǔn)線于點(diǎn)Q,則山橢圓的第二定義PA

2、4—Q—PQ5:.^PAMPB=PQMPB問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在橢圓上找一點(diǎn)P,使其到點(diǎn)B和右準(zhǔn)線的距離Z和最小，很明顯，點(diǎn)P應(yīng)17是過(guò)B向右準(zhǔn)線作垂線與橢惻的交點(diǎn)，最小值為一。4(2)由橢圓的第一定義,設(shè)C為橢圓的左焦點(diǎn)，貝\PA=2a-PC:.PAMPB=2a-PC+PB=1O(IPBI-IPCI)根據(jù)三角形中，兩邊Z差小于第三邊，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與B、C成一條直線時(shí)，便可取得最大和最小值。即-IBCI

3、0+IBCI=10+2V10；當(dāng)P到P，位置時(shí),IPBI-IPCI=-IBCI,PAMPB有最小值,最小值為10-IBCI=10-2710o一.整體思想簡(jiǎn)化運(yùn)算整體思想伴隨著優(yōu)化、審美的意識(shí)：沖破常規(guī)束縛，優(yōu)先考慮整體把握，宏觀處理問(wèn)題,可避開分類，繞開討論，簡(jiǎn)化運(yùn)算，減縮思維過(guò)程。例2?如下圖2,A、B、C、D為海上的四個(gè)小附，要建三座橋，將這四個(gè)島連接起來(lái),不同的建橋方案共有分析：六條可把每個(gè)島之間連接起來(lái)，這六條線中取三座橋佇C；種方法，減去不能把四個(gè)島連接起來(lái)的情況(A、B、C、B、C、D、A、C、D、A、B、D),箱(7；

4、—4=16種建橋方案。例3?方程J(x+3)2+(y-l)2=

5、兀一)‘，+31所表示的曲線是()A.lw

6、B.橢圜C.拋物線D.雙曲線分析：兩邊平方，再化簡(jiǎn)是常規(guī)思路，但結(jié)果含有xy項(xiàng)，不好判斷，把原方程改寫為』(卄3)-+(丁1)-=邁,則問(wèn)題化歸為動(dòng)點(diǎn)p(X,y)到定點(diǎn)(-3,1)與到定直線x-y+31~1T~x-y+3=0的距離之比為V2的軌跡問(wèn)題，由圓錐曲線定義知點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，選Do一.范圍優(yōu)先力避錯(cuò)誤1.重視數(shù)學(xué)解題過(guò)程屮保持變量范圍的等價(jià)性，是變量范圍的重要特征。例4?已知正實(shí)數(shù)a、b、c,滿足a+b+c=l,求丄

7、+丄+丄的最小值。abc錯(cuò)解：由67+->2,b+丄>2,c+->2①abc三式相加得(一+—+-)+(a+/?+c)n6②abc把已知代入得a+b-^c=1②得-+-+->5abcA-+-+-的最小值是5abc剖析：運(yùn)用非嚴(yán)格不等式的運(yùn)算性質(zhì)，一定要注意探討等式成立的條件，木例只有①中的等號(hào)同時(shí)成立，即a=h=c=1時(shí)，②中的等號(hào)才成立，這與a+b+c=I才厲，所以②屮的等號(hào)不成立。木例的正確答案是9而非5。2.避免主觀臆斷，覓視從條件中挖掘隱含的變量范I韋I，是變量范I韋I的覓耍內(nèi)容。例5?求下列函數(shù)的奇偶性⑴心2據(jù)(2)/(%)=

8、J1-兀$lx+21-2判斷函數(shù)的奇偶性問(wèn)題，極易犯兩種錯(cuò)誤，一是忽視定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的必要條件,二是僅從形式判斷函數(shù)關(guān)系式是否滿足奇偶函數(shù)的定義。(-x-2)—V2+x/./(x)=/(-x),/(x)是偶函數(shù)(2)v/(-x)=J—(-b—x+21—2Vl-X2I—x+21—2???/（一兀）*（兀）,故/（兀）為非奇偶函數(shù)2+jv剖析：（1）錯(cuò)因在于忽視對(duì)定義域的優(yōu)先考慮，由——no得-2

9、為[-1,0）5°，1]于是/匕）=反己從而易知是奇函數(shù)X一.賦值探路水到渠成1.在作二項(xiàng)式定理有關(guān)問(wèn)題時(shí)，往往遇到二項(xiàng)式系數(shù)和以及項(xiàng)的系數(shù)和的一些問(wèn)題,如果從特值考慮，合理取值，將使解題更便捷，求解更直接。例6?已知（1一2兀）7=。0+。]兀+。2兀2+???+。7兀7,求：（1）6Z]+Clj+G彳+???+。7；（3）aQ+a2+為+a6o分析：木題對(duì)x取不同的值，求得某些系數(shù)的和。令X=19貝^為+⑷+勺+如+…+。7=—1①令x=—1,貝ija（）—%+q°—角+…—如=3?②（1）令x=0得aQ=1/?671+a?+Q3+

10、…+。7=一2（2）（①一②）4-2：ax+03+心+如=-1094（①+②）4-2：do+a2+a4+a6=1093點(diǎn)評(píng)：以上運(yùn)用的是賦值法，它的模式是對(duì)任意XWA,某式子恒成立，那么対A中的特殊值，該式