數(shù)理方程定解問題

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1、數(shù)理方程定解問題：1、數(shù)理方程的分類反應(yīng)熱傳導(dǎo)的方程類型為:ut=DAu+f其中△二d2dx2du未知數(shù)u表示溫度特征，D表示熱傳導(dǎo)系數(shù)，f是與源有關(guān)的已知函數(shù)，當(dāng)f二0的吋候，相應(yīng)的方程被稱為齊次方程。2、用數(shù)理方程研究物理問題的步驟用數(shù)理方程研究物理問題一般需經(jīng)歷以下三個(gè)步驟（1）導(dǎo)出或?qū)懗龆ń鈫栴}，它包括數(shù)理方程和定解條件兩部分（2）求解已導(dǎo)出或?qū)懗龅亩ń鈫栴}（3）對(duì)求得的答案討論其適定性（即解是否存在、唯一且穩(wěn)定）并作適當(dāng)?shù)奈锢斫忉?、求解數(shù)理方程的方法求解數(shù)理方程的方法人致可歸納為如下幾種(1)彳亍波法（d'Alembert解法

2、）(2)分離變量法(3)積分變換法(4)Green函數(shù)法(5)保角變換法(6)復(fù)變函數(shù)法(7)變分法定解條件定解條件是確定數(shù)理方程解中所含的任意函數(shù)或常數(shù),使解具冇唯一性的充分必要條件。它分為初始條件和邊界條件兩種。若所研究的系統(tǒng)是由兒種不同介質(zhì)組成的，則在兩種介質(zhì)的交而上定解條件還應(yīng)當(dāng)有銜接條件。1＞初始條件（1）定義初始條件是物理過程初始狀況的數(shù)學(xué)表達(dá)式（2）初始條件的個(gè)數(shù)關(guān)于時(shí)間t的n階偏微分方程，要給出n個(gè)初始條件才能確定一個(gè)特解。熱傳導(dǎo)方程僅需給出一個(gè)初始條件u（x,y,z；t）b=o=0（x，y，z）2、邊界條件（1）定義物理

3、過程邊界狀況的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為邊界條件。（2）邊界條件的種類和個(gè)數(shù)邊界條件分為三類。設(shè)f（M,t）為任一已知函數(shù)，M為邊界上的點(diǎn)，則三類邊界條件分別為：1第一類邊界條件u

4、邊=f（M,t）2第二類邊界條件驚b=f（M,t）3第三類邊界條件山+磴］邊=即月其中u

5、邊表示未知函數(shù)U在邊界面上的值，孟I邊表示未知函數(shù)沿邊界外法向的導(dǎo)數(shù)在邊界上的值，h為任意常數(shù)。若f=0,澤以上三類邊界條件分別稱為第一、第二、第三類齊次邊界條件，否則稱作相應(yīng)的非齊次邊界條件。除以上三類邊界條件以外，由于物理上的合理性的需要，有時(shí)還需對(duì)方程屮的未知函數(shù)附加以單值、有

6、限等限制，如u（q）+2n）=u（cp）u

7、邊-有限等。這類附加條件稱為B然邊界條件。不管是何類邊界條件，類似丁?初始條件的情況，變屋x的二階偏微分方程要求兩個(gè)邊界條件（一端點(diǎn)一個(gè)），而x的四階偏微分方程要求四個(gè)邊界條件（一端點(diǎn)兩個(gè)）。3、銜接條件由不同介質(zhì)組成的系統(tǒng)，在兩種不同介質(zhì)的交界處需要給定兩個(gè)銜接條件。更一?般來說，若在所研究的區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)使泛定方程失去意義的躍變點(diǎn)（線或面），則在定解條件中必須含有躍變點(diǎn)處的銜接條件。4、三類定解問題泛定方程與不同類型的定解條件分別構(gòu)成了如下三種類型的定解問題（1）初值問題是由泛定方程和初始條件構(gòu)

8、成的定解問題，又叫Cauchy問題。（2）邊值問題是由泛定方程和邊界問題構(gòu)成的定解問題。（3）混合問題是由泛定方程、初始條件和邊界問題三者構(gòu)成的定解問題泛定方程與疊加原理泛定方程反應(yīng)廣泛性的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，不涉及具體的系統(tǒng)和具體的問題。數(shù)理方法屮的泛定方程是各種各樣的，線性常微分方程、非線性常微分方程。線性與非線性方程的區(qū)別在于線性方程服從疊加原理。我們引入算符的概念。算符就是運(yùn)算符號(hào)。比如dddd2Qd2dxdxdy1dx2dx2是微分算符，而Jdx,Jdxdy,Jd0是積分算符。如果算符L滿足L(aui+bu2)=aL(Ui)+bL(u2)

9、其中a、b為常數(shù),5、疊加原理：如果UjU2是函數(shù)，則稱L為線性算符。（x,y）（i=l,2,3,）是方程（1）的解LUj(x,y)=0(1)其中匸A令+2B急+C話+D估+碣+F,而且級(jí)數(shù)u=為證1Cg（x,y）（2）收斂，并且能夠逐項(xiàng)微分兩次，則式（2）也是方程（1）的解。亞加原理為求解線性泛定方程的定解問題提供了有力的工具。定解問題作為一?個(gè)數(shù)學(xué)物理模型，是否能準(zhǔn)確無誤地描述實(shí)際過程，需要對(duì)結(jié)果進(jìn)一步檢驗(yàn)。從數(shù)學(xué)角度來看，即考查解的適定性，它包括三個(gè)方而：（1）存在性即考杳定解問題的解是否存在（2）唯一性實(shí)際問題的解往往是唯一的，但

10、數(shù)學(xué)解可能不是唯一的，要舍去沒有意義的數(shù)學(xué)解（3）穩(wěn)定性考查定解條件或驅(qū)動(dòng)項(xiàng)的微小變化是否導(dǎo)致解的性質(zhì)的改變?nèi)绻粋€(gè)解經(jīng)不起微擾，或者說在小小的微擾下，解的性質(zhì)就發(fā)生了改變，盡管這個(gè)解是存在且唯一的,但沒有實(shí)際意義。如果一個(gè)定解問題的解是存在的、唯一的、穩(wěn)定的，則稱這個(gè)定解問題是適定的。適定性的討論，對(duì)于一個(gè)定解問題是十分必要的。