數(shù)理方程中典型方程和定解條件的推導(dǎo).ppt

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1、數(shù)學(xué)物理方法一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)第一章CalculationsofSomeTypicalEquationswithDefiniteConditions思路數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)一.均勻弦的橫振動(dòng)方程的建立二.傳輸線方程(電報(bào)方程)的建立三.電磁場方程的建立四.熱傳導(dǎo)方程的建立提要：五.舉例數(shù)學(xué)物理方程的建立：從考察對(duì)象中任取一微元，尋找與之有關(guān)的力、熱、聲、光、電等物理關(guān)聯(lián)——數(shù)學(xué)表述，并對(duì)其整理、簡化，得到所研究問題的偏微分方程。——“一語道破！”適用范圍：這是從事科學(xué)研究的基本方法與路徑。第一章一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)§1.1基本方程（泛定方程）的建立物理模型（現(xiàn)象、過程）數(shù)

2、學(xué)形式表述（建立偏微分方程并求解）目的：培養(yǎng)分析、歸納、綜合、演繹、抽象、猜測、試探、估算的科學(xué)方法。步驟：(1）確定研究對(duì)象（物理量），建立合適的坐標(biāo)系；（2）在系統(tǒng)內(nèi)部，任取一微元，利用物理規(guī)律，分析其與相鄰部分間的作用；（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；（4）化簡整理，得到偏微分方程。不含初始條件不含邊界條件物理狀態(tài)描述:設(shè)有一根均勻、柔軟的細(xì)弦，平衡時(shí)沿直線拉緊，除受到重力外，不受其它外力影響，在鉛直平面內(nèi)作橫向、微小振動(dòng)。平衡位置任意截取一小段，并抽象性夸大。弦的振動(dòng)：雖然經(jīng)典，但極具啟發(fā)性。一.均勻弦的橫振動(dòng)方程的建立X1、建立坐標(biāo)系選定微元uodsMNM'N’xx+dx2、微元

3、ds的動(dòng)力學(xué)方程（牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律）TT’隔離物體法X1、建立坐標(biāo)系選定微元uodsMNM'N’xx+dx2、微元ds的動(dòng)力學(xué)方程（牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律）TT’(1)(2)馬克思在《數(shù)學(xué)手稿》中指出：微分是“揚(yáng)棄了的或消失了的差值”。哲學(xué)上的“揚(yáng)棄”是指“既被克服又被保存”，是包含著肯定的否定。在導(dǎo)數(shù)定義中，分子Δy和分母Δx都被揚(yáng)棄了，就是說，它們都消失為0，從而有限大小的Δx和Δy都被克服，差商但是，它們的依賴關(guān)系（比值）卻保存下來了。我們記揚(yáng)棄了的（或消失了的）那末，導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)數(shù)——從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)關(guān)于函數(shù)的某種形式的極限（實(shí)質(zhì)）函數(shù)在某點(diǎn)上的變化率（數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)）某點(diǎn)上切線的斜率

4、（幾何意義）導(dǎo)數(shù)“只有微分學(xué)才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來不僅僅表明狀態(tài)，并且也表明過程：運(yùn)動(dòng)?！薄鞲袼?《自然辯證法》3、忽略與近似(1)(2)dsTT’o①對(duì)于小振動(dòng)：所以有：3、忽略與近似(1)(2)①對(duì)于小振動(dòng)：于是（1）式變?yōu)椋捍耄?）式變?yōu)椋孩谝话阏f來，，將g略去，上式變?yōu)樯鲜綄?shí)際上可以明確表示為：令，于是有：一維波動(dòng)方程4、整理化簡L＋二.傳輸線方程(電報(bào)方程)的建立現(xiàn)在考慮電流一來一往的高頻傳輸線，它被當(dāng)作具有分布參數(shù)的導(dǎo)體,每單位長導(dǎo)線所具有的電阻、電感、電容、電導(dǎo)分別以R、L、C、G表示。對(duì)于直流電或低頻的交流電,電路的基爾霍夫（Kirchhoff）定律指出,同一支

5、路中的電流相等。但對(duì)于較高頻率的電流（指頻率還未高到顯著輻射電磁波出去的程度），電路導(dǎo)線中的自感和電容的效應(yīng)不能被忽視，因而同一支路中電流呈現(xiàn)瞬態(tài)變化。●●物理狀態(tài)描述:設(shè)如圖傳輸線是分布參數(shù)電路，即傳輸線上電阻R、電感L、電容C和電導(dǎo)G是按單位長度計(jì)算其對(duì)應(yīng)的物理量，并且在x+dx范圍之內(nèi)的所有元件無論布局如何，均認(rèn)為其長度為dx.電容元件：電感元件：換路定理:在換路瞬間，電容上的電壓、電感中的電流不能突變。電路準(zhǔn)備知識(shí)+–LLCC＋－+-●●與同學(xué)們商榷的幾個(gè)問題：（P4-5）（1）設(shè)某時(shí)刻t，輸入與輸出端的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否合理?（2）電流作為初始條件，在流經(jīng)電感時(shí)是否要變化？（3）按照?qǐng)D示

6、，電容與電導(dǎo)兩端的電壓如何界定（注意P5.-1.5式）？”是否合理？“另外,由基爾霍夫第一定律,流入節(jié)點(diǎn)的電流應(yīng)等于流出該節(jié)點(diǎn)的電流,即梁昆淼先生的做法：“今考慮一來一往的高頻傳輸線，每單位長一來一往所具有的電阻，電感，電容，電漏分別記以R，L，C，G。于是亦即亦即將作用于第一式,作用于第二式,兩結(jié)果相減,就消去了而得的方程同理,消去,得到的方程設(shè)某時(shí)刻t，對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：左端：；右端:+–LLCC＋－+-輸入端輸出端參閱：丘關(guān)源主編《電路》P426-430，第十八章，均勻傳輸線。+–LLCC＋－+-由基爾霍夫電壓定律:由基爾霍夫電流定律:電容上的電流：電感上的電壓：流入流出+–LLCC＋－+

7、-由基爾霍夫電流定律:電容上的電流：電感上的電壓：整理后得到：相對(duì)于函數(shù)的變化率，略去無窮小量dx,得由基爾霍夫電壓定律:由基爾霍夫電流定律:(1.4)(1.5)基本電磁場量場的物質(zhì)方程Maxwell方程電場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度電感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度介質(zhì)的介電常數(shù)導(dǎo)磁率導(dǎo)電率傳導(dǎo)電流的面密度電荷的體密度Vectordifferenceoperator三.電磁場方程的建立目標(biāo):利用上述關(guān)系,分別解出、。由將代入上式，得對(duì)