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1、橢圓曲線密碼體制翁健jianweng@sjtu.edu.cn1.實數(shù)域上的橢圓曲線先看實數(shù)域上的橢圓曲線的各種例子（見小程序）1?1實數(shù)域上橢圓曲線的定義射影坐標下橢圓曲線的定義：設(shè)K為一個域，斤表示K的代數(shù)閉域，K上的weierstrass方程：r2z+xrz+=x3+6i2x2z+xz2+ahz3（1.1）決定射影平面尸（斤）上的一條曲線E。當曲線E非奇異時，稱曲線為K上的曲線，記為E/K。由方程F（X,Y,Z）=O決定的曲線E非奇異o曲線E上不存在使得d%Yfd%Z同時為。的點（即滿足方程的任意一點都存在切線）°注：▲Y2Z+a.XYZ+a3YZ2=X3+a2X2Z-^-a4XZ2
2、a.Z3是Weierstmss方程（維爾斯特拉斯，KarlTheodorWilhelmWeierstrass,1815-1897）,是一個齊次方程。▲橢圓曲線的形狀，并不是橢圓的。只是因為橢圓曲線的描述方程，類似于計算一個橢圓周長的方程?！鴻E圓曲線E上有一個點（0,1,0）具有坐標Z=0,稱該點為無窮遠點0。值得注意的是O不是奇異點，vdr^z（O）=1o橢圓曲線的例子：不是橢曲線的例子:why?:因為他們在（0:0:1）點處（即原點）沒冇切線。當ZH0時，令x=XZy=YIZ,貝ij(1.1)可變成如下形式:y2+a{xy+a3y=%3+a2x2+a4x-^-a6(1.2)此時，曲線E
3、就由滿足方程（1?2）的所有點（兀,刃連同無窮遠點O組成。將（1?2）變?yōu)?（x,y）=0的形式，則曲線E非奇異o曲線E上不存在使得%,%，同時為0的點。從而得到曲線在仿射坐標下的定義：由方程（1?2）定義的非奇異曲線上的點連同無窮遠點O組成橢圓曲線值得注意的是，以前提供的圖像可能會給大家產(chǎn)生一種錯覺，即橢圓曲線是關(guān)于x軸對稱的。事實上，橢圓曲線并不一定關(guān)于x軸對稱。如下圖：1?2實數(shù)域上橢圓曲線的運算任取橢圓曲線E上的兩個交點P,Q,連接的直線（當P=Q時，取通過P的切線）與E交于第三點R,我們定義連接R與無窮點O的直線與E的第三個交點記為P十R現(xiàn)在來推導(dǎo)通用情形的橢圓曲線f{x.y)
4、=y2+a}xy^-a3y-x3-a2x2-a4x-a6=0(1.3)的運算公式：i)設(shè)P=Oo，yo)wE,先來推導(dǎo)-P的表達式通過P與O的直線L.x=x^厶與E的第三個交點即為-P(x0,y,)o將x=xQ代入(1.3)得/(xo,y)=O,即y2+(q兀0+°3)y一(Xo+a2X0+a4X0+)=0=>Vo+>1=一(％o+偽)=＞必=一％-叭一。3即-P—(兀0,-『0-馬兀0-a3)a.當兀］=兀2,)1+歹2+。3=0吋，斥十P2=Ob.當片十馬HO時，過人,鬥的直線為：-1af-al一afar.勺一-+--y??￡兄-2j__準，旺H兀2(⑺—，西=兀>(即片=出，???
5、片+AHO)(⑺記L與E的第三個交點為占=(忑,力)，則片十￡=-出，將直線L的方程代入式(1.3)，得：f(x,Ax+v)=(x-Xj)(x一x2)(x-x3)=>X—(A-+6ZjA—Cl-,)X~—(2,Av+6Zjv4-。3兄—q)x—(v-+ci^v—務(wù))=0由此可得：西+兀)+禺=才+偽幾—5=*兀3='1+。3久—么)—X)—禺，再將兀3代入L的直線方程可以進一步求出兀3和％,最后根據(jù)求出i)可以求出P^?P-y——P—(A>~+d
6、Q—Xj_尤>,2(兀］_旺)_)1—兀3—。3)例：(見小程序)運算十具有如下性質(zhì)：(1)若直線L與E相交于P,Q,R三點，則P十0十R=O
7、(2)對任一PwE,有P十O二P(3)對任意P,QeE有P十Q=Q十P(4)對任一PeE,存在E上的一點，記為-P,使P十(-P)=O(5)設(shè)P,Q,RwE,則(P十Q)十R=P十(Q十R)注：第(5)非常重要，它是一個集合成為群的一個重要條件。(群的條件：二元運算，結(jié)合律，單位元，逆元)證明性質(zhì)(5)要用到如下的一個幾何性質(zhì)：設(shè)三條直線/?Z2,/3和一條曲線交于九個點片，…代(允許重復(fù))；若有其它三條直線與曲線交于九個點Q,…Q，若^=2，J=1,...8,則必有Pq=ao(由兩點確定一條直線知顯然成立)證明性質(zhì)(5):選擇橢圓曲線E上的三個不同點P,Q,R(此處只考慮這三個點不同的
8、情形),取如下六條直線：￡=P,Q,_(P+Q)L=O,R,—R1?二-P,_(f2+R),P+(Q+R)AQ,R,-(Q+R)l；=O,P,—PA*(P+Q),(P+Q)+/?這樣就可以得到三條直線Z?/2,Z3交E于九個點：P,-P,2,R,-R,-(P+0,-(Q+/?),O,P+(Q+/?)及三條直線/,；/；,/；交E于九個點：P,-P,2,R、—R,—(P十0,—(Q+/?),O,(P+0+/?比較這兩組交點，不難發(fā)現(xiàn)前
