泰勒公式及泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用

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1、泰勒公式及泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用摘要：泰勒公式及泰勒級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)分析中有著很大的作用，是重要的數(shù)學(xué)工具。除了我們熟悉的應(yīng)用方面外，在其他問(wèn)題解決中也有妙用。本文舉例介紹了泰勒公式及泰勒級(jí)數(shù)在求極限、求高階導(dǎo)數(shù)值、判定級(jí)數(shù)和廣義積分的斂散性、函數(shù)的不等式證明和近似計(jì)算中的應(yīng)用等問(wèn)題。這對(duì)學(xué)生解決問(wèn)題的能力及綜合運(yùn)用知識(shí)的能力有著很好的指導(dǎo)作用?？梢蚤_闊學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的分析問(wèn)題的能力。關(guān)鍵詞：泰勒公式泰勒級(jí)數(shù)應(yīng)用TheApplicationofaTaylorFormulaandTaylorSeriesAbstract:Taylo

2、rformulaandTaylorserieshavemanyimportantapplicationsinmathematicalanalysis.Thispapergivessomeexamplestoshowseveralapplicationswhichincludelimitanddifferentialcoefficientcalculation,judgementofconvergenceanddivergenceofprogressionandimproperintegral,provingvariablef

3、unctionequationandsoon.Itisanimportantguideforustoexploitstudents’thinkingtostudyproblems,toimprovestudents’abilityinanalyzingandsolvingproblems.Keywords:TaylorformulaTaylorseriesapplication0引言泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)是極重要的數(shù)學(xué)工具。在各個(gè)領(lǐng)域中都有重要的應(yīng)用。在高等數(shù)學(xué)中，我們學(xué)到的用泰勒公式來(lái)解決在求函數(shù)的極限，求函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)值、函數(shù)

4、近似計(jì)算、判別級(jí)數(shù)和廣義積分的斂散性以及證明不等式方面的應(yīng)用。通過(guò)學(xué)習(xí)，我們深入了解泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)的應(yīng)用，用一些簡(jiǎn)單的例子來(lái)歸納說(shuō)明其應(yīng)用的方法。在實(shí)踐中靈活運(yùn)用，對(duì)學(xué)生理解、掌握泰勒公式的內(nèi)容和解決較復(fù)雜的問(wèn)題有事半功倍的作用，可以使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單易解。下面就結(jié)合一些例題給以說(shuō)明。101泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)在數(shù)學(xué)分析中是一個(gè)重要內(nèi)容，它一般形式有：若函數(shù)在點(diǎn)存在直至n階導(dǎo)數(shù)，則有(1)稱(1)為帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式。若，則泰勒公式為(2)稱(2)為帶有佩亞諾余項(xiàng)的麥可勞林公式。若函數(shù)在上存在直至n階

5、的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的，，至少存在一點(diǎn)，使得(3)稱(3)為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式。若=0，則泰勒公式為（）(4)稱(4)為帶有拉格朗日型的麥克勞林公式.如果在（3）中去掉余項(xiàng)，那么在附近可用（3）式右邊的多項(xiàng)式來(lái)近似代替。如果函數(shù)在處存在任意階的導(dǎo)數(shù)，這時(shí)稱形式為10的級(jí)數(shù)為函數(shù)在的泰勒級(jí)數(shù).常用函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開式，如：2泰勒公式的若干應(yīng)用2.1求極限應(yīng)用泰勒公式求極限的方法是當(dāng)時(shí)，把所求的極限表達(dá)式中的各個(gè)不同類型的初等函數(shù)都代換為其適當(dāng)階在點(diǎn)處的泰勒公式.使原來(lái)的極限轉(zhuǎn)化為關(guān)于的有限分式

6、的極限，這樣就易求得其極限值.這種方法要求我們必須熟練掌握基本函數(shù)的泰勒公式.例1求極限解：因?yàn)榉帜傅拇螖?shù)是2，所以=，=故===此題也可以用洛比達(dá)法則，但若求導(dǎo)次數(shù)多時(shí)，則求導(dǎo)和化簡(jiǎn)過(guò)程較麻煩，用泰勒公式則方便很多.10注:關(guān)鍵是分子與分母應(yīng)該展開到多少階。為了使原極限存在，應(yīng)把分子中函數(shù)的泰勒公式展開到與分母中冪函數(shù)的最高次冪數(shù)相同的階數(shù)為宜。若碰到分子與分母都需要展開為泰勒公式的，方法相似。例2求極限解：因?yàn)樗运?2.2求高階導(dǎo)數(shù)值例3寫出的麥克勞林公式，并求，，解：用代替泰勒公式中的.得到的麥克勞林公式為=由泰勒

7、公式系數(shù)的定義知，在上述的麥克勞林公式中，的系數(shù)為10==0所以=—，=0注：求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。則易寫出在點(diǎn)處的泰勒公式。從逆向思維考慮，在點(diǎn)處的泰勒公式則根據(jù)函數(shù)的泰勒公式的唯一性以及它與泰勒公式的系數(shù)關(guān)系為，則我們就得到函數(shù)在處的各階導(dǎo)數(shù)值為=.2.3利用泰勒公式和泰勒級(jí)數(shù)求近似值例4求數(shù)的值，精確到.解：（）當(dāng)時(shí)，<<,取因?yàn)?3！6.2由于<所以2.718281828例5計(jì)算（精確到0.0001）解：的麥克勞林冪級(jí)數(shù)展開式是=10=====因?yàn)椴皇浅醯群瘮?shù)，可運(yùn)用泰勒級(jí)數(shù)來(lái)表示計(jì)算。這是一個(gè)交叉級(jí)數(shù).所以=又因?yàn)椋?/p>

8、以取.故=1.50232.3利用泰勒公式判別級(jí)數(shù)、廣義積分的斂散性在級(jí)數(shù)斂散性理論中，要判斷一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性或是發(fā)散性時(shí)，我們可以用比較判別法來(lái)判定。也就是利用一個(gè)已知其斂散性的“比較簡(jiǎn)單”的級(jí)數(shù)，如，我們稱為級(jí)數(shù)。為了有效的選取適當(dāng)?shù)募?jí)數(shù)中p的值，我們往往要用泰勒公式來(lái)研究無(wú)窮小量或