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1、第24期總第202期內(nèi)蒙古科技與經(jīng)濟(jì)No.24,the202thissue2009年12月InnerMongoliaScienceTechnology&EconomyDec.2009對(duì)泰勒公式的理解及泰勒公式的應(yīng)用胡格吉樂(lè)吐(內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古呼和浩特010051)摘要:文章闡述了利用泰勒公式對(duì)函數(shù)進(jìn)行展開(kāi)以及對(duì)泰勒公式與向量空間的關(guān)系的理解,介紹了泰勒公式在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞:向量空間;泰勒公式;數(shù)學(xué)分析中圖分類號(hào):O177.92文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1007—6921(2009)
2、24—0073—01泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的內(nèi)?}容,在課本上已對(duì)泰勒公式進(jìn)行了詳細(xì)的說(shuō)明與論就是f(x)分別在這兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo),于是述,那么,對(duì)泰勒公式的理解只限于課本上的一種理從形式來(lái)看,f(x)作為這無(wú)限維空間中的一個(gè)點(diǎn)(一解形式嗎?有其他新的理解形式嗎?文章通過(guò)向量個(gè)向量),但從數(shù)來(lái)看,f(x)在這個(gè)空間中卻要用無(wú)空間對(duì)泰勒公式有了更深層次的理解,用泰勒公式限個(gè)坐標(biāo)來(lái)決定.在高等數(shù)學(xué)中,根據(jù)問(wèn)題的需要,可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行展開(kāi),那么,泰勒公式有沒(méi)有其他的進(jìn)行有限與無(wú)限形式的相互變換,在解決數(shù)學(xué)
3、問(wèn)題應(yīng)用之處呢?還有哪些應(yīng)用呢?文章將對(duì)泰勒公式中是常有的。可見(jiàn),換個(gè)角度看函數(shù)的展開(kāi),會(huì)給人的應(yīng)用作進(jìn)一步的說(shuō)明與論述,以此來(lái)加強(qiáng)對(duì)泰勒加深印象,能在原有的基礎(chǔ)上根深蒂固。公式的理解。談到有限與無(wú)限,在高等數(shù)學(xué)中,根據(jù)問(wèn)題的需1函數(shù)展開(kāi)與向量空間要,進(jìn)行有限與無(wú)限形式的相互變換,在解決數(shù)學(xué)問(wèn)泰勒公式是函數(shù)展開(kāi)的一種工具,也就是說(shuō),利題中是常常會(huì)用到的,這就是泰勒公式的魅力所在.用泰勒公式將函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)是函數(shù)展開(kāi)的一種方比如說(shuō):函數(shù)的分解與求和,函數(shù)關(guān)系的證明等,就法,當(dāng)然,函數(shù)的展開(kāi)方法有多種,例如:用泰勒
4、公式要用這種有限與無(wú)限之間的變換方法。展開(kāi)、三角級(jí)數(shù)的展開(kāi)等。為更好地理解函數(shù)展開(kāi)的例1:證明eix=cosx+isinx意義以及泰勒公式的應(yīng)用,文章先對(duì)函數(shù)的展開(kāi)進(jìn)證明:將cosx,sinx在x=0點(diǎn)泰勒展開(kāi)行論述,然后,用例題對(duì)其應(yīng)用做進(jìn)一步的說(shuō)明。∞(-1)nx2n∞(-1)nx2n+1有:cosx=,sinx=在高等數(shù)學(xué)中,函數(shù)展開(kāi)有許多不同的形式,最n=0(2n)!n=0(2n+1)!∞(-1)nx2n∞i2nx2n∞(ix)2n常用的有如下兩種類型的函數(shù)級(jí)數(shù)展開(kāi)。又:cosx===1.1函
5、數(shù)的泰勒展開(kāi)(冪級(jí)數(shù)展開(kāi))n=0(2n)!n=0(2n)!n=0(2n)!∞(-1)nix2n+1∞(ix)2n+1若函數(shù)f(x)在區(qū)間{xx-x06、!1.2函數(shù)的三角級(jí)數(shù)展開(kāi)可見(jiàn),這種有限與無(wú)限的變換方法的重要性,也若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-,]上連續(xù)且逐段光滑,體現(xiàn)了泰勒公式的奧妙之處。通過(guò)認(rèn)識(shí)這種函數(shù)展則在這區(qū)間內(nèi)有:開(kāi)與向量空間的聯(lián)系可以更深刻的理解函數(shù)的展a∞0f(x)=+(akcoskx+bksinkx)(2)開(kāi),從而更會(huì)、深刻的理解泰勒公式,使它成為解決2k=1數(shù)學(xué)問(wèn)題的更加有力的工具。其中:ak=1∫12泰勒公式的應(yīng)用-f(x)coskxdx,bk=∫-f(x)2.1用泰勒公式求極限sinkxdxk=0,1,2,?(3)1x4
7、-1+x2-從函數(shù)展開(kāi)式(1)和(2)兩邊的項(xiàng)來(lái)看,左邊的2!4!函數(shù)f(x)作為一個(gè)整體,它只有有限的一項(xiàng),而右邊例2求lim6x→0x卻包含著無(wú)限多項(xiàng),說(shuō)明在一定條件下,有限形式的0函數(shù)可以用無(wú)限形式的級(jí)數(shù)來(lái)表示,關(guān)于這一點(diǎn),可分析:此為〔0〕型不等式,若用洛比達(dá)法則求以從另一個(gè)視角來(lái)看,若把展開(kāi)式(1)和(2)中的函解,要使用六次,但若用(2)展開(kāi),較方便。數(shù)系:246xxx{1,(x-x0),(x-x0)2,(x-x0)3,?,(x-x0)n,解:∵cosx=1-+-cosx(0<<1)2!4!6!
8、?}246xxx{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,?,cosnx,sinnx,∴cosx-1+-=-cosx2!4!6!?}6x61分別看成無(wú)限維函數(shù)空間的兩個(gè)坐標(biāo)系,其中從而,原式=lim(-cosx/x)=-的函數(shù)就是相應(yīng)的坐標(biāo)向量,則f(x)就可以看作這x→06!6!運(yùn)用泰勒公式方法時(shí)需要注意的一個(gè)問(wèn)題是:個(gè)空間的一個(gè)點(diǎn)(或一個(gè)向量),則兩級(jí)數(shù)的系數(shù)組將函數(shù)展
