［精選推薦］探究存在性問(wèn)題(數(shù)學(xué))

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1、探究存在性問(wèn)題“三部曲”(江蘇楊大為)存在性開(kāi)放問(wèn)題大多數(shù)是運(yùn)用類(lèi)比的方法，通過(guò)類(lèi)比歸納、猜想、論證，即通過(guò)分析類(lèi)比、提岀猜想，再進(jìn)行必要的論證。具體的思路是，假設(shè)結(jié)論存在或成立，若推證出矛盾，則結(jié)論確實(shí)存在或成立；若推證出才盾，則結(jié)論不存在或不成立。說(shuō)的明口一點(diǎn)就是，探究“存在性”問(wèn)題，i般遵循“三部曲”：假設(shè)存在——推理論證——得出結(jié)論(合理或矛盾兩種情形)。但任何事悄都不是絕對(duì)的，冇的存在性問(wèn)題很明顯，并不需要嚴(yán)格按照上ifii的三個(gè)步驟進(jìn)行?，F(xiàn)以兒道屮考?jí)狠S人題為例，相信對(duì)你的屮考復(fù)習(xí)會(huì)有所幫助。例1(2007年湖北省荊門(mén)市第28題)

2、.如圖1,在平面肓角坐標(biāo)系屮，有一?張矩形紙片創(chuàng)〃C,已知0(0,0),力(4,0),00,3),點(diǎn)P是創(chuàng)邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)0、A不重合).現(xiàn)將△丹〃沿陽(yáng)翻折，得到△刊馮再在化邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)伐、紅POE冷PE翻折，得到△丹為并使直線勿、刃,重合.(1)設(shè)戶匕，0),也0,力，求y關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最人值；(2)如圖2,若翻折后點(diǎn)〃落在比、邊上，求過(guò)點(diǎn)只B、F的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；⑶在⑵的情況下，在該拋物線上是否存在點(diǎn)0,使△昭是以肱為直角邊的直角三角形？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求出點(diǎn)"的處標(biāo).圖1yDBE0Ax圖2分析：此題將

3、矩形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中操作，利用折疊探究函數(shù)關(guān)系式，融對(duì)稱(chēng)、相似、函數(shù)等眾多知識(shí)點(diǎn)于一體，屬常規(guī)的存在性問(wèn)題探究題，難度不是太大，相信同學(xué)們能順利求解。(下面給出詳細(xì)解答，有的還附上了原分值，以供同學(xué)們參考。)解:(1)由已知〃平分ZAPD,必平分上OPF,且刃、PF重合,則Z俗母90°.:.ZOPE+ZAPB=90°.又ZAPB+ZAB/^90°,:.ZOP&ZPBA?ARtAm^RtA^2分即-=^—..y=Lx(4-x)=--x2+-x(0<^r<4)?OEAPy4-x「333且當(dāng)尸2吋，y有最大值4分1a~2"⑵由已知，4PA

4、B、△磁均為等腰三角形，可得7(1,0),￡(0,1),〃(4,3).……6分c=1,設(shè)過(guò)此三點(diǎn)的拋物線為y^ax+bx+c,貝U

5、題).如圖，矩形ABCD中，AD=3厘米，=a厘米(a>3).動(dòng)點(diǎn)M,N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿BtA,B—C運(yùn)動(dòng)，速度是1厘米/秒.過(guò)M作直線垂直丁MB,分別交AN,CD于P,Q.當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C吋，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r秒.(1)若a=4厘米，/=1秒，則PM=厘米；(2)若a=5厘米，求時(shí)間兒使厶PNBsHPAD,并求出它們的相似比；(3)若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN耳梯形PQDA的面積相等，求d的取值范圍；(4)是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程屮，存在某時(shí)刻使梯形PMBN,梯形PQDA,梯形PQCN的面積都相等？若

6、存在，求a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.DA分析：此題仍然以矩形為依托，放棄了上例的平面直角坐標(biāo)系，融入了物理上的運(yùn)動(dòng)、數(shù)學(xué)上的相似、梯形、面積、方程等知識(shí)點(diǎn)。與上例類(lèi)似，作為中考?jí)狠S人題，也不是很難。解：(1)PM4(2)r=2,使厶PNBs^paD,相似比為3:2(3)?/PM±AB,CB±AB,ZAMP=ZABC,△AMPs^ABC,???=即=,?/PM=—,BNABtaa當(dāng)梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，即+=(MP+BN)BM???rW3,??.一^-W3,貝iJaW6,.?.3vaW6,6+a(2)???3

7、MBN與梯形PQDA的血積相等梯形PQCN的面積與梯形PMBN的面積相等即可，則CN=PM.?.丄@一0=3-（，把t=-^-代入，解Z得a=±2羽,所以a=2品.a6+a所以，存在d,當(dāng)a=2品吋梯形PMBN與梯形PQDA的面積、梯形PQCN的面積相等.仞J3（2007年遼寧省十二市第26題）?如圖，平血酉?角坐標(biāo)系中有一肓角梯形〃，點(diǎn)〃的坐標(biāo)為（一8,0）,點(diǎn)川的坐標(biāo)為（一6,-4）.（1）畫(huà)出直角梯形購(gòu)W/繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)180°的圖形OABC,并寫(xiě)出頂點(diǎn)弭，C的處標(biāo)（點(diǎn)財(cái)?shù)膶?duì)應(yīng)點(diǎn)為J,點(diǎn)艸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,點(diǎn)〃的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q；（2）求出過(guò)B,C三

8、點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；（3）截取C&O&AE,且圧F,G分別在線段CO,OA,AB上,求四邊形購(gòu)％的面積???S與/〃之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量加的取值范圍；而積