遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的解法探究

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1、2010年浙江省優(yōu)秀教育教學(xué)論文評(píng)選遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的解法探究遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式是高考和數(shù)學(xué)競(jìng)賽的熱點(diǎn)更是廣人考生比較頭疼的考點(diǎn)Z—?隨著新課程改革的推進(jìn)，越來(lái)越多的高等數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)入高中課程，也進(jìn)入高考，這就需要我們從高觀點(diǎn)的角度出發(fā)尋找高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的結(jié)合點(diǎn)，提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的深度.筆者有幸擔(dān)任學(xué)校數(shù)學(xué)競(jìng)賽班的輔導(dǎo)工作,在教學(xué)屮，積累了一些經(jīng)驗(yàn)，因此靜下心來(lái)寫(xiě)成文章，以便與廣大教育工作者交流。遞推數(shù)列按遞推式所含數(shù)列連續(xù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)可作如下分類：由兩個(gè)連續(xù)項(xiàng)之間的關(guān)系式陥嚴(yán)gJZN冷和初始項(xiàng)⑷所確定的數(shù)列，叫做一階遞推數(shù)列；由三

2、個(gè)連續(xù)項(xiàng)之間的關(guān)系式d”+2=f(an+］,an)(ngN*)和兩個(gè)初始項(xiàng)⑷，①所確定的數(shù)列，叫做二階遞推數(shù)列；依此類推。下面就一階遞推數(shù)列、二階遞推數(shù)列的常見(jiàn)類型給出常系數(shù)線性與非線性遞推數(shù)列、分式型遞推數(shù)列等通項(xiàng)公式的一般解法。探究一：一階遞推數(shù)列一、階差法：形如：an+1=an+f(n)［例1］已知數(shù)列｛%｝滿足4=1,求數(shù)列｛色｝的通項(xiàng)公式。解：an=（d“一％L

3、）+（d“_

4、一心2"…+（。2一?）+5=+1=2"-1。k=l二、迭乘法：形如an+i=f(n)an［例2］已知正數(shù)數(shù)列仏｝滿足再=1,且(n+l)^+1-n

5、a^+an+［an=0,求數(shù)列仏｝的通項(xiàng)公式。解：???（〃+I）。；】一加;+?+］勺=［（n+l）an+1-nanV（a/J+1^-an）=Q又a”>0,（料+1）。卄1=naH三、構(gòu)造法:等差、等比數(shù)列是廣人學(xué)生最為熟悉的兩個(gè)數(shù)列，它們的通項(xiàng)公式己是了如指掌，因此我們可以將遞推數(shù)列換元化歸，把遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為與d”有關(guān)的等差或等比數(shù)列。1.形如：an+｝=pan+中pHl,pH0,qHo)［例3］已知數(shù)列血｝滿足g=2,3afl+l=2an+1,求數(shù)列仏｝的通項(xiàng)公式。2解：將3%+［=2an+1變形為an+l+2=—(an+2)

6、,由持定系數(shù)法求得2=-197數(shù)列a-1｝是以6-1為首項(xiàng)上為公比的等比數(shù)列，故得心=(彳嚴(yán)+1。33變式：已知正數(shù)數(shù)列仏｝滿足=1,an-a^=269求數(shù)列仏｝的通項(xiàng)公式。分析：因色〉0,所以對(duì)^.<1=26兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)，得21og2陽(yáng)+1+log2^=6,令仇=10g2色，則有2乞+嚴(yán)-仇+6,以下方法同上,可求得乞=2+(-2)2-“?故％=22*2尸2.形如：an+［=pan+中卩工1,卩工0)［例4］已知數(shù)列血｝滿足4=1,a曲=3色+2?3網(wǎng)，求數(shù)列血｝的通項(xiàng)公式。解：將①屮=3色+2?3曲兩邊同除以3曲，可得第

7、=牛+2???［冬4是公差為2的等差數(shù)列，首項(xiàng)為魚(yú)=丄，乞=丄+5—1).2［3/,J333“3從血解得a“=3/,_

8、+(〃一1)23"［例5］己知數(shù)列血｝滿足4=1,?+嚴(yán)3色+2”-1,求數(shù)列仏｝的通項(xiàng)公式。解：令a“+i+2("+1)=3(a“+加),由待定系數(shù)法求得2=1,???數(shù)列｛①+對(duì)是以山+1為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列。故得知=2?3"—?3?形如:an+l=f(n)an+g(n)［例6］已知數(shù)列仏｝滿足6Z,=1,m曲=5+2)陽(yáng)+料，求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式。(n+2)an+n兩邊同除以n(n+1)(/?+2),

9、得:an（小如2」（屮+舄市'%希，勺斗由階差法濁H-1仇=b+工k=l1(k+1)伙+2)故an二n1.四、特征根法（不動(dòng)點(diǎn)法）:形如：%產(chǎn)竺4（其屮八q、八〃均為常數(shù)，且ran+hphHqr,r工0,c“）r［定理］如果數(shù)列｛込｝滿足下列條件：已知⑷的值且對(duì)于neN,都有廿（其屮……均為常數(shù),月.ph工g廠，心0,Q

10、H）,那么,可作特征方程x二匹衛(wèi)?rx+h（1）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相同的根2（稱作特征根）時(shí),若％=2,則an=gN;11r若6H,則an=一+兄,wN,其中仇=+（〃一1）,ngN.特別地,bn%-2p-r2當(dāng)存

11、在n0eN,使方％=0時(shí)，，無(wú)窮數(shù)列｛an］不存在.（2）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根入、人（稱作特征根）時(shí)，則①=小一入，neN,其中c”=魚(yú)二A（上二A￡）心，GN,（其中⑷豐入）?（定理的證明請(qǐng)讀者自己a｝一兄？p-^2r完成）［例7］已知數(shù)列｛%｝滿足⑷=0,,求數(shù)列仏｝的通項(xiàng)公式。解:X=1,構(gòu)造數(shù)列｛—依定理作特征方程"士即宀屮占，解得???數(shù)列丄是公差為?1的等差數(shù)列，首項(xiàng)為丄=-1［an??—-—=—1+(/?—1)?(―1)=—n,從1伯解得a”=1——.色一1n［例8］已知數(shù)列｛色｝滿足性質(zhì):對(duì)于応N?嚴(yán)丄匕，且％=

12、3,求｛%｝的通項(xiàng)2%+3公式.解：依定理作特征方程“上土，變形得2/+2—4=0,其根為2x+3人=1池2二-2.故特征方程有兩個(gè)相異的根，使用定理2的第(2)部分，則有泯ec”=

13、(V)fwN.(-5)"-42+(-5)〃探究二：