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《遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的解法探究》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。
1、2010年浙江省優(yōu)秀教育教學(xué)論文評(píng)選遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的解法探究遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式是高考和數(shù)學(xué)競(jìng)賽的熱點(diǎn)更是廣人考生比較頭疼的考點(diǎn)Z—?隨著新課程改革的推進(jìn),越來(lái)越多的高等數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)入高中課程,也進(jìn)入高考,這就需要我們從高觀點(diǎn)的角度出發(fā)尋找高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的結(jié)合點(diǎn),提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的深度.筆者有幸擔(dān)任學(xué)校數(shù)學(xué)競(jìng)賽班的輔導(dǎo)工作,在教學(xué)屮,積累了一些經(jīng)驗(yàn),因此靜下心來(lái)寫(xiě)成文章,以便與廣大教育工作者交流。遞推數(shù)列按遞推式所含數(shù)列連續(xù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)可作如下分類:由兩個(gè)連續(xù)項(xiàng)之間的關(guān)系式陥嚴(yán)gJZN冷和初始項(xiàng)⑷所確定的數(shù)列,叫做一階遞推數(shù)列;由三
2、個(gè)連續(xù)項(xiàng)之間的關(guān)系式d”+2=f(an+],an)(ngN*)和兩個(gè)初始項(xiàng)⑷,①所確定的數(shù)列,叫做二階遞推數(shù)列;依此類推。下面就一階遞推數(shù)列、二階遞推數(shù)列的常見(jiàn)類型給出常系數(shù)線性與非線性遞推數(shù)列、分式型遞推數(shù)列等通項(xiàng)公式的一般解法。探究一:一階遞推數(shù)列一、階差法:形如:an+1=an+f(n)[例1]已知數(shù)列{%}滿足4=1,求數(shù)列{色}的通項(xiàng)公式。解:an=(d“一%L
3、)+(d“_
4、一心2"…+(。2一?)+5=+1=2"-1。k=l二、迭乘法:形如an+i=f(n)an[例2]已知正數(shù)數(shù)列仏}滿足再=1,且(n+l)^+1-n
5、a^+an+[an=0,求數(shù)列仏}的通項(xiàng)公式。解:???(〃+I)。;】一加;+?+]勺=[(n+l)an+1-nanV(a/J+1^-an)=Q又a”>0,(料+1)。卄1=naH三、構(gòu)造法:等差、等比數(shù)列是廣人學(xué)生最為熟悉的兩個(gè)數(shù)列,它們的通項(xiàng)公式己是了如指掌,因此我們可以將遞推數(shù)列換元化歸,把遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為與d”有關(guān)的等差或等比數(shù)列。1.形如:an+}=pan+中pHl,pH0,qHo)[例3]已知數(shù)列血}滿足g=2,3afl+l=2an+1,求數(shù)列仏}的通項(xiàng)公式。2解:將3%+[=2an+1變形為an+l+2=—(an+2)
6、,由持定系數(shù)法求得2=-197數(shù)列a-1}是以6-1為首項(xiàng)上為公比的等比數(shù)列,故得心=(彳嚴(yán)+1。33變式:已知正數(shù)數(shù)列仏}滿足=1,an-a^=269求數(shù)列仏}的通項(xiàng)公式。分析:因色〉0,所以對(duì)^.<1=26兩邊取以2為底的對(duì)數(shù),得21og2陽(yáng)+1+log2^=6,令仇=10g2色,則有2乞+嚴(yán)-仇+6,以下方法同上,可求得乞=2+(-2)2-“?故%=22*2尸2.形如:an+[=pan+中卩工1,卩工0)[例4]已知數(shù)列血}滿足4=1,a曲=3色+2?3網(wǎng),求數(shù)列血}的通項(xiàng)公式。解:將①屮=3色+2?3曲兩邊同除以3曲,可得第
7、=牛+2???[冬4是公差為2的等差數(shù)列,首項(xiàng)為魚(yú)=丄,乞=丄+5—1).2[3/,J333“3從血解得a“=3/,_
8、+(〃一1)23"[例5]己知數(shù)列血}滿足4=1,?+嚴(yán)3色+2”-1,求數(shù)列仏}的通項(xiàng)公式。解:令a“+i+2("+1)=3(a“+加),由待定系數(shù)法求得2=1,???數(shù)列{①+對(duì)是以山+1為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列。故得知=2?3"—?3?形如:an+l=f(n)an+g(n)[例6]已知數(shù)列仏}滿足6Z,=1,m曲=5+2)陽(yáng)+料,求數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式。(n+2)an+n兩邊同除以n(n+1)(/?+2),
9、得:an(小如2」(屮+舄市'%希,勺斗由階差法濁H-1仇=b+工k=l1(k+1)伙+2)故an二n1.四、特征根法(不動(dòng)點(diǎn)法):形如:%產(chǎn)竺4(其屮八q、八〃均為常數(shù),且ran+hphHqr,r工0,c“)r[定理]如果數(shù)列{込}滿足下列條件:已知⑷的值且對(duì)于neN,都有廿(其屮……均為常數(shù),月.ph工g廠,心0,Q
10、H),那么,可作特征方程x二匹衛(wèi)?rx+h(1)當(dāng)特征方程有兩個(gè)相同的根2(稱作特征根)時(shí),若%=2,則an=gN;11r若6H,則an=一+兄,wN,其中仇=+(〃一1),ngN.特別地,bn%-2p-r2當(dāng)存
11、在n0eN,使方%=0時(shí),,無(wú)窮數(shù)列{an]不存在.(2)當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根入、人(稱作特征根)時(shí),則①=小一入,neN,其中c”=魚(yú)二A(上二A£)心,GN,(其中⑷豐入)?(定理的證明請(qǐng)讀者自己a}一兄?p-^2r完成)[例7]已知數(shù)列{%}滿足⑷=0,,求數(shù)列仏}的通項(xiàng)公式。解:X=1,構(gòu)造數(shù)列{—依定理作特征方程"士即宀屮占,解得???數(shù)列丄是公差為?1的等差數(shù)列,首項(xiàng)為丄=-1[an??—-—=—1+(/?—1)?(―1)=—n,從1伯解得a”=1——.色一1n[例8]已知數(shù)列{色}滿足性質(zhì):對(duì)于応N?嚴(yán)丄匕,且%=
12、3,求{%}的通項(xiàng)2%+3公式.解:依定理作特征方程“上土,變形得2/+2—4=0,其根為2x+3人=1池2二-2.故特征方程有兩個(gè)相異的根,使用定理2的第(2)部分,則有泯ec”=
13、(V)fwN.(-5)"-42+(-5)〃探究二: