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1、遞推數(shù)列求通項公式的常用類型遞推數(shù)列求通項公式是高考的常見題型,現(xiàn)將遞推數(shù)列通項公式的一些常用類型進行歸類并給出解題的基本思路,以供參考。類型1形如的遞推式基本思路:利用迭代累加法,將,,…,逐次迭代累加,得:。例1、已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。解:把兩邊同除以得,令,則,且.從而,所以.類型2形如的遞推式基本思路:利用迭代累加法,將,,…,逐次迭代累加,得:。例2、已知數(shù)列前項和為,且,求數(shù)列的通項公式。分析:利用公式,把已知條件中的消去.解:因為.從而.故,所以.6類型3形如的遞推式基本思路:可用待定系數(shù)法,設,與已知式子相比較得,從而數(shù)列成
2、等比數(shù)列,易得.例3、已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式。解:因為,得且.所以.從而得.例4、數(shù)列中,設,求數(shù)列的通項公式。分析:看見這種等式,一般采用把等式兩邊同時取對數(shù)的方法進行轉(zhuǎn)化.解:因為,所以,令,有,則,所以.從而.故.類型4形如的遞推式基本思路:將兩邊同除以,得,令,則,由此仿照類型1可求出,從而求出.例5、數(shù)列前項和為,且,求數(shù)列的通項公式。解:求時,由,①,有,②.①-②,得,即.兩邊同除以得,令,則,,從而.故也適合.6類型5形如的遞推式基本思路:設輔助數(shù)列將使,則,即.令,則轉(zhuǎn)化為類型1的遞推式,可求出,從而求出.例6、已知數(shù)列滿足
3、,求數(shù)列的通項公式。解:由得,①.令,則有,取,得.由①式有,即.令,則.從而.故.類型6形如的遞推式基本思路:(1)當時,則,即,則成等比數(shù)列,從而,仿照類型1可求出.(2)當時,存在實數(shù)滿足,與已知等式比較,得,把看作一元二次方程的兩根,容易求出.故則成等比數(shù)列,可得,仿照類型4可求出.把方程稱為遞推式的特征方程,其中是特征方程的兩個根,則有下列結論:①當時,;②當時,;③當時,,其中是由初始值確定的常數(shù).6例7、(2008廣東高考理科)設為實數(shù),是方程的兩個實根,數(shù)列滿足,,(…).(1)證明:,;(2)求數(shù)列的通項公式;(3)若,,求的前項和
4、.解:(1)略.(2)解法1:因為.故.從而.令,則.于是,.故當時,.又因為.故當時,.故當時,;當時,.解法2:由已知可知,該數(shù)列是二階齊次線性遞歸數(shù)列,其特征方程為.是方程的兩個實根.則.當時,則.由解得:,所以.當時,則.由解得:,所以.6解法3:設,則,由得,消去,得,是方程的根,由題意可知,①當時,此時方程組的解記為即、分別是公比為、的等比數(shù)列,由等比數(shù)列性質(zhì)可得,,兩式相減,得,,,,即,②當時,即方程有重根,,即,得,不妨設,由①可知,,即,等式兩邊同時除以,得,即數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列,,綜上所述,(3)把,代入,得,解得類型7
5、形如的遞推式基本思路:一般的,設是遞推關系的特征方程的兩個根.(1)當時,可令,則為等比數(shù)列;(2)當時,可令,則為等比數(shù)列.6例8、在數(shù)列中,,求數(shù)列的通項公式。解:由于的特征方程的兩根為,所以,兩式相除得,.則數(shù)列為等比數(shù)列.因為,所以,所以,所以.例9、在數(shù)列中,,求數(shù)列的通項公式。解:由于的特征方程的兩根為,顯然,得,所以.所以數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,所以,所以.類型8形如的遞推式基本思路:一般的,通過構造新數(shù)列,令或者通過平方,把已知遞推式的根號去掉,便于化簡變形.例10、在數(shù)列中,,求數(shù)列的通項公式。解:令,則.由,可得.所以,所
6、以,所以.6