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《分形幾何與分形插值》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、分形幾何與分形插值孫洪泉教授第一章緒論1.1分形的起源人類在認識世界和改造世界的活動中離不開幾何學。在歷史上科學技術的發(fā)展與幾何學的進步始終是密切相關的。在經典幾何學中,我們可以用直線、圓錐、球等一類規(guī)則的形狀去描述諸如車輪、道路、建筑物等人造物體。因為這些物體本來就是根據歐氏幾何的規(guī)則圖形生成的。然而在自然界中,卻存在著許許多多極其復雜、極不規(guī)則的形狀。例如,海岸線、山川、河流、巖石、斷裂、森林、閃電等等。它們都是非規(guī)則形狀,用歐幾里德幾何是無能為力的。下面我們給出歐氏空間中不能解釋的一些的“奇怪”現象。koch雪花的面積有限，周長為無限。這是歐氏空間中的“奇怪”現象。為了說明這樣的事實，
2、下面我們給出koch雪花的生成步驟（如圖1.1所示）。取周長為1的正三角形為初始元。第一步（k=1）：將邊長三等份，并以中間的一份為底邊構造正三角形，去掉該三角形的底邊，將兩腰與剩下的兩份相連，得到生成元（見圖1.1）。原三角形每條邊都用生成元替換，得到具有6個凸頂點的12邊形。第二步（k=2）：對第一步得到的圖形，同樣將其邊長三等份，并以中間的一份構造正三角形，去掉該三角形的底邊，將兩腰與兩邊的兩份相連，得到生成元替換，得到24個凸頂點的48邊形。如此方法，一直作下去，當k→∞時便得到Koch雪花。運用初等幾何和初等代數知識不難求得每一步圖形的周長（設k為步數；L圖形邊長）：由此可見，隨著
3、n→∞時，Koch雪花的周長Ｌ→∞。初始元k=0:L=1生成元k=1:L=4/3=(1+1/3)1n→∞,L→∞k=2:L=16/9=(1+1/3)2……k=n:L=16/9=(1+1/3)n圖1.1Koch雪花的生成然而，由Koch雪花的制作過程可知，每一步的圖形都包含在半徑為1的單位園中。因此Koch雪花的面積是有限的。這種面積有限、周長為無窮大的圖形在歐氏空間中也是一種不可思意的“奇怪”現象。為什么會有這種“奇怪”的現象發(fā)生呢？從分形的概念引入之后，人們發(fā)現用上述方法作出的Koch雪花邊長是極其復雜，它的維數已不是歐氏空間中曲線的維數——1維了，它的維數是大于1維的。但這個邊長也不能填
4、滿任何一個小的面積，所以它的維數是小于2維的。同樣，在測量英國海岸線時，人們發(fā)現海岸線的長度隨著測量時使用的碼尺的變小而增大。1967年法國數學家B.B.Mandelbrot提出了“英國的海岸線有多長？”的問題，這好像極其簡單，因為長度依賴于測量單位。以1km為單位測量海岸線，那些短于1km的迂回曲折都忽略掉了；若以1m為單位測量，那些大于1m的迂回曲折就能被測量出來，所以測出的長度將變大。測量單位進一步變小，測得的長度將愈來愈大。如果這些愈來愈大的長度能趨近于一個確定值，這個極限值就是海岸線的長度。但Mandelbrot發(fā)現：當測量單位變小時，所得的長度是無限增大的。難道海岸線的長度是不確
5、定的，或者說，海岸線是無限長的。為什么？后來人們發(fā)現，英國海岸線以及Koch雪花的周長都是極其復雜的幾何圖形，它們的維數是介于1～2之間的分數維。而我們使用的量測碼尺都是一維的。用小于圖形維數的碼尺去度量圖形，得到的結果只能是無窮大；反之，用大于圖形維數的碼尺去度量圖形，得到的結果只能是零。上述例子說明確實存在維數不是整數的圖形，分數維——分形幾何的思想便從這里萌芽?！胺中巍币辉~譯于英文Fractal，系分形幾何的創(chuàng)始人曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁語Frangere一詞創(chuàng)造而成，詞本身具有“破碎”、“不規(guī)則”等含義。1973年,法國數學家BenoitB.Ma
6、ndelbrot在法蘭西學院講課時,首次提出了分維和分形幾何的設想。他創(chuàng)造了“分形(Fractal)”這個新術語。分形(Fractal)這個詞出自拉丁語fractus,其原意具有不規(guī)則、分裂、支離破碎等意思。引入到中國，Fractal這個詞起初被人們譯為“分形”、“分維”、“分數維”、“分維數”等。現在已基本上統(tǒng)一稱為“分形”。BenoitB.Mandelbrot創(chuàng)立的分形幾何，借助于自相似性原理，洞察于混亂現象中的精細結構，其研究對象為自然界和社會活動中廣泛存在的復雜無序，而又具有某種規(guī)律的系統(tǒng)，它為人們從局部認識整體、從有限認識無限提供了新的方法，為研究自然界中的不規(guī)則現象提供了一種定量
7、描述手段。因此,近年來分形幾何不論在理論上,還是在應用上都得到了迅速的發(fā)展。1.2什么是分形我們人類生活的世界是一個極其復雜的世界，例如，喧鬧的都市生活、變幻莫測的股市變化、復雜的生命現象、蜿蜒曲折的海岸線、坑坑洼洼的地面等等，都表現了客觀世界特別豐富的現象。在傳統(tǒng)歐氏幾何學里，人們總是把研究對象想象成一個個規(guī)則的形體：直線、圓形、方形、曲面、立方體等，而我們生活的現實世界中存在的物體，竟有如此多的不規(guī)則和支
