分形幾何與分形插值

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1、分形幾何與分形插值孫洪泉教授第一章緒論1.1分形的起源人類在認(rèn)識世界和改造世界的活動(dòng)中離不開幾何學(xué)。在歷史上科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與幾何學(xué)的進(jìn)步始終是密切相關(guān)的。在經(jīng)典幾何學(xué)中,我們可以用直線、圓錐、球等一類規(guī)則的形狀去描述諸如車輪、道路、建筑物等人造物體。因?yàn)檫@些物體本來就是根據(jù)歐氏幾何的規(guī)則圖形生成的。然而在自然界中,卻存在著許許多多極其復(fù)雜、極不規(guī)則的形狀。例如,海岸線、山川、河流、巖石、斷裂、森林、閃電等等。它們都是非規(guī)則形狀,用歐幾里德幾何是無能為力的。下面我們給出歐氏空間中不能解釋的一些的“奇怪”現(xiàn)象。koch雪花的面積有限，周長為無限。這是歐氏空間中的“奇怪”現(xiàn)象。為了說明這樣的事實(shí)，

2、下面我們給出koch雪花的生成步驟（如圖1.1所示）。取周長為1的正三角形為初始元。第一步（k=1）：將邊長三等份，并以中間的一份為底邊構(gòu)造正三角形，去掉該三角形的底邊，將兩腰與剩下的兩份相連，得到生成元（見圖1.1）。原三角形每條邊都用生成元替換，得到具有6個(gè)凸頂點(diǎn)的12邊形。第二步（k=2）：對第一步得到的圖形，同樣將其邊長三等份，并以中間的一份構(gòu)造正三角形，去掉該三角形的底邊，將兩腰與兩邊的兩份相連，得到生成元替換，得到24個(gè)凸頂點(diǎn)的48邊形。如此方法，一直作下去，當(dāng)k→∞時(shí)便得到Koch雪花。運(yùn)用初等幾何和初等代數(shù)知識不難求得每一步圖形的周長（設(shè)k為步數(shù)；L圖形邊長）：由此可見，隨著

3、n→∞時(shí)，Koch雪花的周長Ｌ→∞。初始元k=0:L=1生成元k=1:L=4/3=(1+1/3)1n→∞,L→∞k=2:L=16/9=(1+1/3)2……k=n:L=16/9=(1+1/3)n圖1.1Koch雪花的生成然而，由Koch雪花的制作過程可知，每一步的圖形都包含在半徑為1的單位園中。因此Koch雪花的面積是有限的。這種面積有限、周長為無窮大的圖形在歐氏空間中也是一種不可思意的“奇怪”現(xiàn)象。為什么會有這種“奇怪”的現(xiàn)象發(fā)生呢？從分形的概念引入之后，人們發(fā)現(xiàn)用上述方法作出的Koch雪花邊長是極其復(fù)雜，它的維數(shù)已不是歐氏空間中曲線的維數(shù)——1維了，它的維數(shù)是大于1維的。但這個(gè)邊長也不能填

4、滿任何一個(gè)小的面積，所以它的維數(shù)是小于2維的。同樣，在測量英國海岸線時(shí)，人們發(fā)現(xiàn)海岸線的長度隨著測量時(shí)使用的碼尺的變小而增大。1967年法國數(shù)學(xué)家B.B.Mandelbrot提出了“英國的海岸線有多長？”的問題，這好像極其簡單，因?yàn)殚L度依賴于測量單位。以1km為單位測量海岸線，那些短于1km的迂回曲折都忽略掉了；若以1m為單位測量，那些大于1m的迂回曲折就能被測量出來，所以測出的長度將變大。測量單位進(jìn)一步變小，測得的長度將愈來愈大。如果這些愈來愈大的長度能趨近于一個(gè)確定值，這個(gè)極限值就是海岸線的長度。但Mandelbrot發(fā)現(xiàn)：當(dāng)測量單位變小時(shí)，所得的長度是無限增大的。難道海岸線的長度是不確

5、定的，或者說，海岸線是無限長的。為什么？后來人們發(fā)現(xiàn)，英國海岸線以及Koch雪花的周長都是極其復(fù)雜的幾何圖形，它們的維數(shù)是介于1～2之間的分?jǐn)?shù)維。而我們使用的量測碼尺都是一維的。用小于圖形維數(shù)的碼尺去度量圖形，得到的結(jié)果只能是無窮大；反之，用大于圖形維數(shù)的碼尺去度量圖形，得到的結(jié)果只能是零。上述例子說明確實(shí)存在維數(shù)不是整數(shù)的圖形，分?jǐn)?shù)維——分形幾何的思想便從這里萌芽。“分形”一詞譯于英文Fractal，系分形幾何的創(chuàng)始人曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁語Frangere一詞創(chuàng)造而成，詞本身具有“破碎”、“不規(guī)則”等含義。1973年,法國數(shù)學(xué)家BenoitB.Ma

6、ndelbrot在法蘭西學(xué)院講課時(shí),首次提出了分維和分形幾何的設(shè)想。他創(chuàng)造了“分形(Fractal)”這個(gè)新術(shù)語。分形(Fractal)這個(gè)詞出自拉丁語fractus,其原意具有不規(guī)則、分裂、支離破碎等意思。引入到中國，F(xiàn)ractal這個(gè)詞起初被人們譯為“分形”、“分維”、“分?jǐn)?shù)維”、“分維數(shù)”等?，F(xiàn)在已基本上統(tǒng)一稱為“分形”。BenoitB.Mandelbrot創(chuàng)立的分形幾何，借助于自相似性原理，洞察于混亂現(xiàn)象中的精細(xì)結(jié)構(gòu)，其研究對象為自然界和社會活動(dòng)中廣泛存在的復(fù)雜無序，而又具有某種規(guī)律的系統(tǒng)，它為人們從局部認(rèn)識整體、從有限認(rèn)識無限提供了新的方法，為研究自然界中的不規(guī)則現(xiàn)象提供了一種定量

7、描述手段。因此,近年來分形幾何不論在理論上,還是在應(yīng)用上都得到了迅速的發(fā)展。1.2什么是分形我們?nèi)祟惿畹氖澜缡且粋€(gè)極其復(fù)雜的世界，例如，喧鬧的都市生活、變幻莫測的股市變化、復(fù)雜的生命現(xiàn)象、蜿蜒曲折的海岸線、坑坑洼洼的地面等等，都表現(xiàn)了客觀世界特別豐富的現(xiàn)象。在傳統(tǒng)歐氏幾何學(xué)里，人們總是把研究對象想象成一個(gè)個(gè)規(guī)則的形體：直線、圓形、方形、曲面、立方體等，而我們生活的現(xiàn)實(shí)世界中存在的物體，竟有如此多的不規(guī)則和支