關(guān)于分形插值函數(shù)的積分.pdf

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1、國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào)第23卷第1期JOURNALOFNATIONALUNIVERSITYOFDEFENSETECHNOLOGYVOi.23NO.12001文章編號(hào)：1001-2486（2001）01-0081-04!關(guān)于分形插值函數(shù)的積分屈田興（國(guó)防科技大學(xué)理學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410073）摘要：用反例說(shuō)明在［1，2］中關(guān)于分形插值函數(shù)的積分公式是錯(cuò)誤的，并建立了關(guān)于分形插值函數(shù)積分的正確公式。關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)集；迭代函數(shù)系；分形插值函數(shù)中圖分類號(hào)：O18；O241.3文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：AOntheIntegralsofFractalInterpolatingFuncti

2、onsOUTian-xing（COiiegeOfScience，NatiOnaiUniv.OfDefenseTechnOiOgy，Changsha410073，China）Abstract：AcOunterexampieisgivingtOshOwthattheintegraifOrmuiaOffractaiinterpOiatingfunctiOnsin［1］［2］isfaise.Further-mOre，thecOrrectfOrmuiaisestabiished.Keywords：dataset；interatedfunctiOnsystem；fr

3、actaiinterpOiatingfunctiOn在實(shí)際中，我們常會(huì)遇到這種情形：已知某有限區(qū)間［a，6］上的函數(shù)F的存在性，而不知F的具體表達(dá)式。為此，常對(duì)F的圖像G（F）=｛（x，F(xiàn)（x））x"［a，6］｝或其軌跡進(jìn)行間隔采樣，即設(shè)a=x0

4、規(guī)則性，經(jīng)典的插值函數(shù)難以較好地?cái)M合F。為此，Barmsiey提出了如下的分形插值方法：對(duì)數(shù)據(jù)集（1），取迭代函數(shù)系｛R2；S，?，S｝，其中每個(gè)S：R22均是仿射變換，形如1Ii#Rxai0xeiSi()=()()+()（2）yciiiyfi且滿足x0xi-1Si()=()F0Fi-1xIxiSi()=()（3）FIFi在（3）式中，每個(gè)Si的5個(gè)參數(shù)ai，ci，ii，ei，fi中存在一個(gè)自由參數(shù)，一般取ii為自由參數(shù)，稱之為垂直尺度因子。一般限定0$ii<1，i=1，2，?，I（4）任意取定i1，?，iI滿足（4）式，則由（2）式解得xi-xi-1a

5、i=xI-x0!收稿日期：2000-09-02基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（69872039）作者簡(jiǎn)介：屈田興（1957-），男，副教授。82國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào)2OOl年第l期Fi-Fi-lFI-FOci=-iixI-xOxI-xOxIxi-l-xOxiei=（5）xI-xOxIFi-l-xOFixIFO-xOFIfi=-iixI-xOxI-xO注意在ai，ci，ei，fi中僅ci，fi與ii的取法有關(guān)，而ai，ei與ii的取法無(wú)關(guān)。定理l當(dāng)I>l時(shí)，對(duì)上述迭代函數(shù)系｛R2；S，S，?，S｝，存在R2上與歐氏距離等價(jià)的距離l2I!，使｛R2，S，S，

6、?，S｝是（R2，）中的雙曲迭代函數(shù)系，從而存在R2中唯一的緊集G使!'l2I!'IG=US（iG）i=l即G是雙曲迭代函數(shù)系｛R2；S，S，?，S｝的不變集。l2I定理2定理l中的G必是某個(gè)插值于數(shù)據(jù)集（l）的連續(xù)函數(shù)f：［xO，xI］、R的圖像，即G=G（f）（稱這樣的f為數(shù)據(jù)集（l）的分形插值函數(shù)）。定理l與定理2的詳細(xì)證明見文獻(xiàn)［l，2］。為本文主要結(jié)果證明的需要，下面給出定理2的證明概要。設(shè)!=｛gg6C［x，x］，g（xO）=FO，g（xI）=FI｝OI易見!是C［x，x］的完備子空間。OI令T：!、!為（Tg）（x）=cil-i（lx）+i

7、ig（l-i（lx））+fi，x6［xi-l，xi］，i=l，2，?，I（6）其中l(wèi)i：［xO，xI］、［xi-l，xi］定義為l（ix）=aix+ei，它是可逆的線性變換。易證，對(duì)g6!，Tg是滿足插值條件的連續(xù)函數(shù)，且T：!、!是壓縮映射。于是由壓縮映射原理知，存在唯一的f6!，使Tf=f，即f是插值于數(shù)據(jù)集（l）的連續(xù)的插值函數(shù)，且G（f）是｛R2；S，S，l2?，SI｝的不變集。再由定理l中不變集G的唯一性得G=G（f）.說(shuō)明當(dāng)取il=i2=?=iI=O時(shí)，定理2中的f恰為經(jīng)典的分段線性插值函數(shù)，記之為fO，相應(yīng)于f的諸S的參數(shù)記為a，cO，e，

8、fO。OiiiiixI對(duì)于定理2中的f，我們常常要計(jì)算積分I=J（fx）dx.但