[精品]淺談多元函數(shù)的最值問題

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1、淺談多元函數(shù)的最值問題淺談多元函數(shù)的最值問題多元函數(shù)，特別是形如滬f(x,y)的二元函數(shù)的最值問題是近年來高考和數(shù)學(xué)競賽的一個難點，多元函數(shù)的最值涉及到函數(shù)、不等式、線性規(guī)劃等諸多重耍的知識點，同時還體現(xiàn)了函數(shù)與方程，轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合等核心數(shù)學(xué)思想，因此成為探索的熱點?本文通過典型題例對解決多元函數(shù)的方法進(jìn)行了一定的探究和歸納.一、消元法消元是處理多元問題常用的，最有效的數(shù)學(xué)技巧之一，常常能將多元函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元函數(shù)，方程或不等式問題來處理，可以起到化繁為簡的作用??？梢酝ㄟ^代入消元

2、法、整體消元法、不等式的放縮、三角換元等方法來達(dá)到消元的目的.例1(2011年浙江(理))設(shè)x,y為實數(shù)，若4x2+y2+xy二1,則2x+y的最大值是.分析：通過將所求問題整體換元，代入消元轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用方程的思想求解最值問題，解題略.例2已知x,y,zWR,且x+y+z二1,x2+y2+z2二3,則xyz的最大值是.分析：本題中含有三個字母，必須進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化，本題的核心是如何盡可能消元，減少變量，化為一元問題，解答略.例3已知x2+y2-xy=l,求x2-y2的最大值與最小值.分析：

3、本題不同于例h例2,利用代入消元和不等式的放縮都很難達(dá)到消元的目的，我們可以考慮通過三角換元，利用參數(shù)方程來達(dá)到降低維數(shù)消兀的II的.解：設(shè)z=x2~y2,令x=Pcosty=Psint(tWR,p20),則z=P2cos2t①x2+y2-xy二1轉(zhuǎn)化為P2(1-0.5sin2t)=1②將①除以②可得：z=cos2t1-0.5sin2t,利用三角有界法可求得：[-23/3,23/3].點評：在求解最值問題時，特別是涉及圓和圓錐曲線的問題，我們經(jīng)?？紤]運用參數(shù)方程來達(dá)到降維的0的.二、確定主元法，將問

4、題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求最值例4設(shè)F(x,y)=(x+y)2+(x-2y~l)2,x,yWR且yHO,求F(x,y)的最小值.分析：對于二元函數(shù)可以考慮降維的思想，可以通過確定主元，樹立主元意識，先將其中某一個元作為變量，其余元都作為常數(shù)，化歸為常見一元函數(shù)求最值.解：設(shè)F(x,y)=(x+y)2+(x-2yT)2二2x2+2(y-2yT)x+y2+l+4y+4y2,則關(guān)于x的函數(shù)：g(x)二2x2+2(y-2y-l)x+y2+l+4y+4y2二2[x+(y2-ly-12)]2+12(y+2y+l)2,則

5、g(x)min=12(y+2y+l)2,利用基木不等式可求得：F(x,y)min二9-422.三、基本不等式法例5(2013年山東(理))設(shè)正實數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z二0,則當(dāng)xyz取得最大值吋，2x+ly-2z的最大值為.分析：利用基本不等式通常是解決多元函數(shù)最值的重要工具，通過不等式進(jìn)行有效的放縮達(dá)到求最值的目的.解：因為x2-3xy+4y2-z=0,所以z二x2-3xy+4y2,因為x,y,z都是正實數(shù)，所以xyz二xyx2-3xy+4y2Wxy4xy-3xy=l,當(dāng)冃僅當(dāng)x

6、二2y吋，(xyz)max=l?則z二x2-3xy+4y2二2y2,所以2x+ly-2z二22y+ly-22y2二-(ly-1)2+1W1,當(dāng)且僅當(dāng)y=l,x二2,z二2時，(2x+ly-2z)max二1?四、數(shù)形結(jié)合法求解多元函數(shù)最值吋，常結(jié)合題目中的條件和目標(biāo)函數(shù)的形式所對應(yīng)的幾何意義，將“數(shù)”化歸為“形”，這是解決多元函數(shù)最值的乂一利器.例6(2013年鹽城二模)若實數(shù)a,b,c,d滿足a2-21nab二3c-4d二1,則(a-c)2+(b-d)2的最小值為.分析：通過對所求問題的結(jié)構(gòu)分析，讓

7、我們聯(lián)想到A(a,b),B(c,d)兩點Z間的距離的平方，關(guān)鍵是要構(gòu)造出兩個曲線，將問題轉(zhuǎn)化為兩曲線間動點之間的關(guān)系，在圖形中尋找出更有效的解決方法.解:因為a2-21nab二3c-4d二1,所以b=a2-21na.,d二3c-4,可看為y二x2-21nx上的一點任意一點A(x0,x2-21nx0)到直線y二3x-4上的距離的最小值的平方.yf=2x0~2x0=3,因為x0>0,所以x0=2,所以A(2,4-2ln2).所以過A到直線y二3x-4的距離即為A(a,b),B(c,d)Z間距離的最小值，

8、即為(2-21n2)/10,但是所求為距離的平方，所以[(a-c)2+(b~d)2]min=2(l-ln2)2/5.點評：通過目標(biāo)函數(shù)的兒何意義，將數(shù)與形的結(jié)合，問題可轉(zhuǎn)化為距離、斜率、線性規(guī)劃等方面來求解，這種轉(zhuǎn)化的過程通常比較省時省力，可以提高我們解題的水平和能力?例4也可通過數(shù)形結(jié)合的方法求解.五、柯西不等式法柯西不等式通常是解決多元之間的不等關(guān)系,它的出現(xiàn)使得多元函數(shù)的最值問題又多了一條便捷有效的途徑.例7(2013年湖南(理))已知a,b,ceR,a+2b+