數(shù)學(xué)解題的發(fā)現(xiàn)美與策略美

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1、數(shù)學(xué)解題的發(fā)現(xiàn)美與策略美摘要：本文從一道不等式例題出發(fā)，得出“以退求進(jìn)”策略是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)類(lèi)比題的重耍工具，并在此基礎(chǔ)上探討了數(shù)學(xué)解題的發(fā)現(xiàn)美與策略美.關(guān)鍵詞：以退求進(jìn)；策略美；發(fā)現(xiàn)美；柯西不等式數(shù)學(xué)美就是數(shù)學(xué)的優(yōu)美感，龐加菜說(shuō)：“數(shù)學(xué)的優(yōu)美感，不過(guò)就是問(wèn)題的解答適合我們心靈需耍而產(chǎn)生的一種滿(mǎn)足感，正因?yàn)檫@種適應(yīng)性，這個(gè)解答可能成為我們的一種工具，所以這種美學(xué)上的滿(mǎn)足感是和思維、結(jié)構(gòu)緊密相關(guān)的.”發(fā)現(xiàn)美與策略美都是數(shù)學(xué)美的基本表現(xiàn)形式.“以退求進(jìn)”策略是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)類(lèi)比題的重要工具例1a,b,c,d,e均為正數(shù)，求證：++++$a+b+c+d+

2、e.分析：若讀者不會(huì)證明它，可以“以退求進(jìn)”地構(gòu)造其簡(jiǎn)化類(lèi)比題,以求得發(fā)現(xiàn)新的解題方法.華羅庚教授說(shuō)過(guò)：“要善于退，足夠地退，退到最原始而又不失去重要性的地方是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.”例2a,b,c均為正數(shù)，求證：++Ma+b+c?求證式的左邊三個(gè)分式都是輪換對(duì)稱(chēng)式，左邊每一個(gè)分式，還有什么特點(diǎn)？對(duì)照左邊，右邊需要學(xué)生有豐富的想象力，愛(ài)因斯坦說(shuō)：“想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動(dòng)著進(jìn)步，并且是知識(shí)進(jìn)化的源泉，嚴(yán)格地說(shuō)，想象力是科學(xué)研究中的實(shí)在因素?”左邊每一個(gè)分式，只含兩個(gè)字母，而與第三個(gè)字母無(wú)關(guān).為

3、了用“局部激活整體”的策略，可將不等式的右邊分解為三個(gè)同型項(xiàng)：a+b+c二++,觀察不等式的兩邊，只需證明一個(gè)不等式2?2(a2+b2)$(a+b)2.這可追溯到均值不等式的最簡(jiǎn)單情形，a2+b2±2ab?(a-b)220,這一證明“非同小可”，同理可得其他兩個(gè)不等式也成立.三個(gè)不等式相加，最后證明了：++$a+b+c?例1的證明：發(fā)揮豐富的想象力，在例2中，可將不等式的右邊分解為三個(gè)同型項(xiàng)：a+b+c二++,類(lèi)比到例1屮的五個(gè)量的和分解成5個(gè)同型項(xiàng)：a+b+c+d+e二++++?在例2中，3個(gè)量的和分解出兩個(gè)量之和的一半，有3個(gè)同型項(xiàng)

4、，現(xiàn)在是5個(gè)量之和，則分解出4個(gè)量之和的四分之一，而得5個(gè)同型項(xiàng)?類(lèi)比概念的精確性能使數(shù)學(xué)推理準(zhǔn)確無(wú)誤，觀察不等式的兩邊，只需證明一個(gè)不等式$?4Q2+b2+c2+d2)2(a+b+c+d)2,(a-b)2+(b-c)2+(c-d)2+(d-a)2$0,也可以用另一種方法證明，構(gòu)造兩組數(shù)：a,b,c,d；1,1,1,1,代入柯西不等式之中，(12+12+12+12)(a2+b2+c2+d2)$(1Xa+1Xb+1Xc+1Xd)2?4(a2+b2+c2+d2)上(a+b+c+d)2,即得4個(gè)量的和Z平方不大于這4個(gè)量的平方和Z4倍.同理，

5、這樣5個(gè)不等式之和即得所要證的不等式：++++2a+b+c+d+e?請(qǐng)高中學(xué)生構(gòu)造6元或7元的類(lèi)比題，并證明它.波利亞說(shuō)：“找出一個(gè)既有趣又好下手的新問(wèn)題并不那么容易，這需要經(jīng)驗(yàn)、鑒別力和好運(yùn)氣?但是，當(dāng)我們成功地解決了一個(gè)好問(wèn)題之后，我們應(yīng)當(dāng)去尋找更多的好問(wèn)題.好問(wèn)題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長(zhǎng).找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周?chē)艺?，很可能在附近就有幾個(gè)?”什么是發(fā)現(xiàn)美與策略美波利亞說(shuō)：“得自許多類(lèi)似情況的類(lèi)比結(jié)論比得自較少情況的類(lèi)比結(jié)論要強(qiáng).但是這里質(zhì)量仍然比數(shù)量更為重要，清晰的類(lèi)比較模糊的相似更有價(jià)值.”從例2到例1是清晰的類(lèi)比

6、還是模糊的類(lèi)比呢？肯定是清晰的類(lèi)比.它來(lái)自清晰的類(lèi)比概念，a+b+c與a+b+c+d+e是類(lèi)比概念，與也是類(lèi)比概念;與更是類(lèi)比概念；(a-b)220與(a-b)2+(b~c)2+(c~d)2+(d~a)220仍然是類(lèi)比概念；還冇類(lèi)比不等式，最后二元均值不等式(即二元柯西不等式)與四元柯西不等式也是類(lèi)比不等式等.“類(lèi)比就是一種相似.”它是從一種特殊到另一種特殊的推理.先猜后證是一種數(shù)學(xué)思想，“猜”不是瞎猜、胡猜、亂猜，而是要在探索中去猜，要以直覺(jué)為先導(dǎo)，以聯(lián)想為手段，以邏輯為根據(jù)，以觀察為向?qū)В运季S為核心地去猜.從例1猜想例2(或構(gòu)造例

7、2)需要一種想象力，更是一種創(chuàng)造，當(dāng)然也是發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)美是構(gòu)造簡(jiǎn)單類(lèi)比題并證明它而感到有成就感，它能使人產(chǎn)生愉悅.所謂“解題策略是高層次的解題方法，是對(duì)解題途徑的概括性的認(rèn)識(shí)?”具體的解題策略有順推與倒推、正面與反面、特殊化與普遍化、局部與整體、類(lèi)比與聯(lián)想和化歸等策略.如“以退求進(jìn)”也是一種正面與反面的解題策略，它包括從一般退到特殊、從抽象退到具體、從復(fù)朵退到簡(jiǎn)單、從陌生退到熟悉、從整體退到局部、從未知退到已知.反之，從激活的觀點(diǎn)說(shuō)是順推策略，它包括特殊激活一般、己知激活未知、反面激活正面、熟悉激活陌生、具體激活抽象、簡(jiǎn)單激活復(fù)雜、局部激

8、活整體.以上論述用了幾種策略呢？用到“以退求進(jìn)”策略與“局部激活整體”的策略，當(dāng)然還冇順推與倒推、類(lèi)比與聯(lián)想和化歸等策略.所謂策略美就是在解題過(guò)程中，成功地使用策略而能夠讓認(rèn)知者感到的一種愉悅.不同形式的柯