近世代數(shù)課件(全)-近世代數(shù)1-0基本概念

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1、近世代數(shù)—緒論初等代數(shù)、線性代數(shù)、高等代數(shù)都稱為近世代數(shù)（modernalgebra）也稱為經(jīng)典代數(shù)（classicalalgebra），研究的對(duì)象是代數(shù)方程和線性方程組。抽象代數(shù)（abstractalgebra），研究的對(duì)象是代數(shù)系統(tǒng)（帶有封閉運(yùn)算的集合）。10/6/2021學(xué)習(xí)近世代數(shù)的意義由于近世代數(shù)在數(shù)學(xué)的其他分支、近代物理、近代化學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)字通信、系統(tǒng)工程等許多領(lǐng)域都有重要應(yīng)用，因而它是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一，是許多科技人員需要掌握的基本內(nèi)容和方法，因此近世代數(shù)也是數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課之一。10/6/202

2、1幾個(gè)有趣的應(yīng)用實(shí)例1.項(xiàng)鏈問題2.分子結(jié)構(gòu)的計(jì)數(shù)問題3.正多面體著色問題4.圖的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問題5.開關(guān)線路的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問題6.數(shù)字通信的可靠性問題7.幾何作圖問題8.代數(shù)方程根式求解問題10/6/20211.項(xiàng)鏈問題問題的提法：用n種顏色的珠子做成有m顆珠子的項(xiàng)鏈，問可做成多少種不同類型的項(xiàng)鏈？這里所說的不同類型的項(xiàng)鏈，指兩個(gè)項(xiàng)鏈無論怎樣旋轉(zhuǎn)與翻轉(zhuǎn)都不能重合。10/6/2021數(shù)學(xué)上的確切描述設(shè)由m顆珠子做成一個(gè)項(xiàng)鏈，可用一個(gè)正m邊形來代表它，它的每個(gè)頂點(diǎn)代表一顆珠子。12354678沿逆時(shí)針方向給珠子標(biāo)號(hào)，由于每一顆珠子的顏

3、色有n種選擇，因而用乘法原理，這些有標(biāo)號(hào)的項(xiàng)鏈共有nm種。但其中有一些可以通過旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度或翻轉(zhuǎn)180度使它們完全重合，我們稱為是本質(zhì)相同的，我們要考慮的是無論怎么旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)都不能使它們重合的項(xiàng)鏈類型數(shù)。10/6/2021例1用黑白兩種顏色的珠子做成有5顆珠子的項(xiàng)鏈利用枚舉法，得到一共8種不同類型的項(xiàng)鏈。隨著n、m的增加，用枚舉法解決越來越難，采用群論方法解決是最簡(jiǎn)單、有效的方法。10/6/20212.分子結(jié)構(gòu)的計(jì)數(shù)問題在化學(xué)中研究由某幾種元素可合成多少種不同物質(zhì)的問題，由此可以指導(dǎo)人們?cè)诖笞匀恢袑ふ一蛉斯ず铣蛇@些物質(zhì)。例2在一

4、個(gè)苯環(huán)上結(jié)合H原子或CH3原子團(tuán)，問可能形成多少種不同的化合物？CCCCCCCH3CH3HHHH如果假定苯環(huán)上相鄰C原子之間的鍵是互相等價(jià)的，則此問題就是兩種顏色6顆珠子的項(xiàng)鏈問題。10/6/20213.正面體著色問題對(duì)一個(gè)正多面體的頂點(diǎn)或面用n種顏色進(jìn)下面以六面體為例說明此問題的數(shù)學(xué)描述。例3用n種顏色對(duì)六面體的面著色，問有多首先建立此問題的數(shù)學(xué)模型，將問題中的一些概念給以量化：少種不同的著色方法？行著色，問有多少種不同的著色方法？10/6/2021設(shè)n種顏色的集合為A={a1，a2，…，an}正六面體的面集合為B={b1，b

5、2，b3，b4，b5，b6}則每一種著色方法對(duì)應(yīng)一個(gè)映射：f：BA，反之，每一個(gè)映射對(duì)應(yīng)一種著色法。由乘法原理，全部著色法的總數(shù)為n6，但這樣的著色法與面的編號(hào)有關(guān)，其中有些著色法可適當(dāng)旋轉(zhuǎn)正六面體使它們完全重合，稱它們本質(zhì)相同，我們要求本質(zhì)不同的著色法的數(shù)目。10/6/2021兩種顏色（紅、綠）n=26面紅5面紅、1面綠4面紅、2面綠3面紅、3面綠2面紅、4面綠1面紅、5面綠6面綠利用枚舉法，得到一共10種不同的著色法。對(duì)于一般的情況，目前只能用群論方法解決。112221110/6/20214.圖的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問題圖論的一些基本

6、概念：設(shè)V={v1,v2,…,vn}稱為頂點(diǎn)集（vertexset）,E是由V的一些2元子集構(gòu)成的集合，稱為邊集（edgeset），則有序?qū)?V,E)稱為一個(gè)圖(graph)，記作G=(V,E)。作圖：每一個(gè)頂點(diǎn)用圓圈表示，對(duì)邊集中的每一個(gè)元素{i，j}用一條直線或曲線連接頂點(diǎn)i與j，頂點(diǎn)的位置及邊的長短，形狀均無關(guān)緊要。10/6/2021例如設(shè)V={1,2,…,10},E={{1,2},{2,3},{3,4},{4,5},{1,5},{1,6},{2,7},{3,8},{4,9},{5,10},{6,8},{7,9},{8,1

7、0},{6,9},{7,10}}圖G=(V,E)為12345687910此圖為圖論中有名的彼得松（Petersen）圖10/6/2021例4畫出所有點(diǎn)數(shù)為3的圖123G1G2123123G3123G4123G5123G6123G7123G8故可形成8個(gè)圖。如果不考慮點(diǎn)號(hào)，有些圖可以完全重合，這樣的圖稱它們是同構(gòu)的。例如G2G3G4是同構(gòu)的?？梢钥闯鲞@8個(gè)圖中共有4個(gè)互不同構(gòu)的圖。問題：n個(gè)點(diǎn)的圖中互不同構(gòu)的圖有多少個(gè)？10/6/20215.開關(guān)線路的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問題一個(gè)有兩種狀態(tài)的電子元件稱為一個(gè)開關(guān)，例如普通的電燈開關(guān)，二極管等

8、。由一些開關(guān)組成的二端網(wǎng)絡(luò)稱為開關(guān)線路。一個(gè)開關(guān)線路的兩端也只有兩種狀態(tài)：通與不通。問題：用n個(gè)開關(guān)可以構(gòu)造出多少種不同的開關(guān)線路？首先必須對(duì)此問題建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，然后用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來解決它。10/6/2021我們用n個(gè)變量x1，x2，…，xn代表n個(gè)開關(guān)，