型材彎曲中截面變慣性矩的計(jì)算

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1、型壑查壑圃硼型材彎曲中截面變慣性矩的計(jì)算張?zhí)燔姺畬幹軚|偉濟(jì)南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院山東五征集團(tuán)摘要：本文從慣性矩的定義和一些基本的公式出發(fā)，并結(jié)合型材彎曲的基本理論，從型材彎曲過(guò)程中截面中性層的內(nèi)移和截面的扭曲變形兩方面考慮，闡述彎曲過(guò)程中慣性矩的變化，并給出計(jì)算公式，為型材彎曲的自動(dòng)化提供理論基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞：慣性矩；中性層；扭曲Abstract：Thepaperisbasedonthedefinitionofmomentofinertiaand80mebasicnumerationformula．Italsocombineswiththe

2、basicprinciplesofbending．Itconsiderstwosidesoftheshiftofneutrallayerofcross-sectionandtwistingdistortionofcross-sectionforbendingofprofile．11lepaperexplainsthechangesofmomentofinertiaforthebendingprocessandgivesthenumerationformulaofmomentofinertia．Itprovidesthetheoret

3、icalbasisforautomativebending．Keywords：momentofinertia，neutrallayer，twisting當(dāng)今社會(huì)對(duì)門(mén)窗鋁型材的要求日益提高，圓弧形的鋁型材結(jié)構(gòu)在建筑行業(yè)中得到了更廣泛的使用。而型材的彎曲工藝是滿(mǎn)足人們需要的重要方法，在型材的彎曲中，截面的慣性矩對(duì)型材的彎曲應(yīng)變、應(yīng)力、曲率、回彈等有很重要的影響。但它相對(duì)于其他截面幾何量而言，又具有內(nèi)容復(fù)雜、研究方法多、難系統(tǒng)掌握、應(yīng)用范圍廣等特點(diǎn)。眾多學(xué)者對(duì)此有過(guò)很多研究，如：陳震，從慣性矩定義人手，提出了計(jì)算強(qiáng)度，剛度和穩(wěn)定性所使用的

4、慣性矩是截面對(duì)特定軸的慣性矩，即中性軸通過(guò)截面形心的形心主慣性矩【¨。各學(xué)者還提出各種計(jì)算慣性矩的方法：以格林公式為基礎(chǔ)，提出了平面圖形慣性矩的邊界型算法，它主要適用于某些不建立表達(dá)方程的復(fù)雜組合圖形慣性矩的近似求解；利用三角形單元頂點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)求復(fù)雜形狀截面的靜矩、慣性矩及慣性積；求截面對(duì)任一對(duì)軸的慣性矩和慣性積的圖解法翻。曲春升提出用軟件計(jì)算型材截面的慣性矩，這為快速計(jì)算慣性矩提供了便利13】。但在眾多研究中，并沒(méi)有考慮在彎曲過(guò)程中，慣性矩是怎樣變化的及其計(jì)算方法和公式。為此本文就彎曲中截面慣性矩的變化進(jìn)行討論。1慣性矩的定義1．1

5、慣性矩基本定義形所在平面內(nèi)的坐標(biāo)。在坐(，，，z)處取微面烈，遍及整個(gè)圖形面積A的積分分別定義為圖形對(duì)Y軸和z軸的慣性矩，也稱(chēng)為圖形對(duì)Y軸和彳軸的二次軸矩。在公式(1)中，由于=2和嚴(yán)總是正的，所以‘和厶也是恒為正值。慣性矩的量綱是長(zhǎng)度的四次方【4J?？窱z詘7JA扛L朋任意平面如圖1，其面積為A。Y軸和z軸為圖圈1慣性矩定義示意圖!=151111111111自!!!!!!E!!!!!!!!!≈=自E!!!!!!!!!=!!!ssE!!!!!E!E!自e!E!!!!}==自=!!!!e。i-!．----rm,lE自E!自2010．0

6、121圃硼1．2復(fù)雜截面的慣性矩計(jì)算公式對(duì)于復(fù)雜截面的慣性矩來(lái)說(shuō)，其計(jì)算公式是慣性矩的基本計(jì)算公式(1)和平行移軸公式(2)相結(jié)合。示意圖如圖2。圖2移軸公式示意圖嬲}㈣￡=L+6詛J、。但對(duì)于復(fù)雜截面的積分是相當(dāng)困難的，因此可以先將復(fù)雜截面分割成易于計(jì)算截面慣性矩的簡(jiǎn)單形狀的小截面，并計(jì)算出復(fù)雜截面的形心，然后將各小截面的慣性矩通過(guò)平行移軸公式轉(zhuǎn)換到通過(guò)形心的中性軸上，它們的和即為復(fù)雜截面的主軸慣性矩，也就是結(jié)構(gòu)在變形時(shí)所需要的截面慣性矩。由于中性軸是中性層和型材截面的交線[5--61，而中性層在型材的彎曲過(guò)程中是內(nèi)移的，由于在彎

7、曲過(guò)程中都用到了平面假設(shè)，也就是說(shuō)截面的形狀是不變的，這樣就可以利用未彎曲時(shí)的截面慣性矩和中性層內(nèi)移的距離來(lái)計(jì)算彎曲過(guò)程中的截面慣性矩的變化。1．3截面扭轉(zhuǎn)時(shí)慣性矩的計(jì)算由于在彎曲過(guò)程中，結(jié)構(gòu)的截面必然產(chǎn)生扭曲，但是因?yàn)榕で冃伪容^小和彎曲過(guò)程中的平面假設(shè)，可以近似認(rèn)為是型材截面繞中性軸的旋轉(zhuǎn)。而型材截面的旋轉(zhuǎn)也就是相當(dāng)于所在坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)，即截面的工作狀態(tài)發(fā)生了變化。所以可以采用轉(zhuǎn)軸公式(3)，求得變化中的主慣性矩(4)。示意圖如圖3，若將坐標(biāo)軸繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)儀角；且以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，旋轉(zhuǎn)后的新的坐標(biāo)軸Y-，z-。n---yc嗍憶8．

8、1吣}(3)gl：=zcosot+y’SlrltVJ望墅壘絲‘。：塵生+—I,-—I,c。s20【一抽in缸2Ll=ly+I：一—l,-—Izcos孫+加sin缸2札。：生生。in撕++加sin22(4)其中L，五分別是截面未發(fā)生變化