概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-2.1隨機(jī)變量及其分布

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1、1第二章隨機(jī)變量及其分布§2.1離散型隨機(jī)變量及其分布§2.2連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布§2.3隨機(jī)變量函數(shù)的分布2為了進(jìn)一步深入研究隨機(jī)現(xiàn)象,在這一章里我們將引入隨機(jī)變量的概念.由于隨機(jī)變量概念的引入，我們可利用微積分知識(shí)，更全面更深刻地揭示隨機(jī)現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律。在第一章里，我們討論了隨機(jī)事件及其概率，其中隨機(jī)事件都是用定性的語言描述的，與數(shù)學(xué)最基本的研究對象——數(shù)及變量尚未建立直接聯(lián)系。3在許多帶有隨機(jī)因素的實(shí)際問題中，我們往往只關(guān)心某些數(shù)據(jù)，如電子元件的壽命、車站的候車人數(shù)等等.此外人們還發(fā)現(xiàn)建立數(shù)和人或其他事物的對應(yīng)關(guān)系會(huì)帶來許多便利，比如每一個(gè)學(xué)生可以用一個(gè)學(xué)號(hào)與之對應(yīng)，城市

2、的每一間房屋可以用一個(gè)門牌號(hào)與之對應(yīng)，工廠生產(chǎn)的同一種型號(hào)產(chǎn)品（如計(jì)算機(jī)可以用一個(gè)代碼與之對應(yīng)）.同樣，建立數(shù)和基本事件的對應(yīng)關(guān)系將有助于我們利用現(xiàn)有的一些數(shù)學(xué)方法對隨機(jī)現(xiàn)象作進(jìn)一步的研究.4§2.1離散型隨機(jī)變量及其分布1.隨機(jī)變量2.離散型隨機(jī)變量3.兩點(diǎn)分布4.二項(xiàng)分布5.泊松分布6.隨機(jī)變量的分布函數(shù)51.隨機(jī)變量在許多隨機(jī)試驗(yàn)中，除試驗(yàn)結(jié)果之外，往往有另一個(gè)量與每個(gè)結(jié)果相關(guān)聯(lián)。如賭博時(shí)投擲硬幣，人們總是不加思素地將正面和反面轉(zhuǎn)化成贏和輸了多少錢；再如，摸球中獎(jiǎng)活動(dòng)，人們摸中紅球、白球、黑球等時(shí)，總是和中幾等獎(jiǎng)、多少獎(jiǎng)金聯(lián)系起來。這樣，就自然建立了一個(gè)對應(yīng)關(guān)系。6有些試驗(yàn)

3、結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)：（1）擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；（4）七月份濟(jì)南的最高溫度；（2）每天到北京下火車的人數(shù)；（3）昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；7例盒中有3個(gè)黑球和2個(gè)白球，從中隨機(jī)抽取3個(gè)，考慮取得的白球數(shù)。抽取的白球數(shù)有三個(gè)可能結(jié)果：0，1或2，對于不同的抽取次數(shù)其結(jié)果可能不同。為此，引入一個(gè)變量ξ，用ξ表示“抽取的白球數(shù)”，該變量的不同取值表達(dá)不同的隨機(jī)事件，如（ξ=0）表示“抽取的3個(gè)球中無白球”；（ξ=1）表示“抽取的3個(gè)球中有1個(gè)白球”；（ξ≤2）表示“抽取的3個(gè)球中至多有2個(gè)白球”。8在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來表示它的各種結(jié)果.也就是說，把試驗(yàn)

4、結(jié)果數(shù)值化.例:拋擲一枚硬幣，觀察其出現(xiàn)正面與反面的情況，則其有二個(gè)可能結(jié)果：出現(xiàn)正面H或出現(xiàn)反面T，其樣本空間為Ω={H,T}.這樣我們就將試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)數(shù)對應(yīng)起來了.若我們在樣本空間上定義一個(gè)函數(shù):9通常，我們用大寫字母X、Y、Z等表示隨機(jī)變量.引入隨機(jī)變量后，就可以用隨機(jī)變量X描述事件定義:設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，如果對每一個(gè)樣本點(diǎn)，都有唯一實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，則稱為樣本空間上的隨機(jī)變量.10例在一批燈泡中任意抽取一只，測試其壽命，那么燈泡的壽命ξ(小時(shí))是一個(gè)隨機(jī)變量，顯然ξ的一切可能取的值是非負(fù)實(shí)數(shù)值，即ξ∈[0,+∞)而(ξ=1200)，(ξ≤5000)，(ξ>1500)等都

5、是隨機(jī)事件。11由此可知，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用變量來表示，但這種“變量”與微積分中的“變量”是有區(qū)別的.它有兩個(gè)特點(diǎn)：⑴取值的隨機(jī)性，也就是說ξ取哪一個(gè)值，在抽樣前無法確定；⑵取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，也就是ξ取這些值的概率是確定的。12※隨機(jī)變量的兩個(gè)主要問題：①研究隨機(jī)變量可能取哪些值；②研究隨機(jī)變量取這些值的概率各是多少。13用隨機(jī)變量表示事件若X是實(shí)驗(yàn)E的一個(gè)隨機(jī)變量，那么{x=1},{X

6、為：　｛X=2}?{X=4}?{X=6}“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于４”可表示為：｛X<4｝或｛X?3｝14隨機(jī)變量的分類如“取到次品的個(gè)數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等.隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量有有限或可列無窮多個(gè)所有取值，可以逐個(gè)一一列舉如“電視機(jī)的壽命”、實(shí)際中常遇到的“測量誤差”等.全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個(gè)區(qū)間.15定義2.2設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能的不同取的值為而X取值的概率為pk，即則稱(2.1.1)為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律2.離散型隨機(jī)變量16把X可能取的值及相應(yīng)的概率列成表，如表2.1.1所示，稱表為X的概率分布表，或稱為分

7、布列Xx1x2…xk…Pp1p2…pk…17隨機(jī)變量的分布律是指隨機(jī)變量所有可能的取值與取這些值的概率之間的一種對應(yīng)關(guān)系。這種對應(yīng)關(guān)系可用解析式（2.1.1）和分布列表示，還可用圖示法表示（圖2.1.1）18對于離散型隨機(jī)變量，概率分布中的pk必須滿足下列兩個(gè)性質(zhì)：反過來，滿足上式的數(shù)pk也一定可作為離散型隨機(jī)變量的概率分布。19例2.1.1設(shè)有10件產(chǎn)品，其中正品6件，次品4件，從中任取3件產(chǎn)品，用X表示從中取出的次品數(shù)，求其分布律.解：X表示3件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X可能取的值