一、圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用 (2)

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1、1.（2010高考（安徽理19））：已知橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在x軸上，離心率。（1）求橢圓E的方程；（2）求∠的角平分線所在直線l的方程。2.已知橢圓C：，分別為左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，P是C上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍。4.類似2的雙曲線：已知雙曲線C：，分別為左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，M是C上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍。5.類似2的拋物線：已知拋物線C：，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，點(diǎn)，M是C上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍。1.已知l是過(guò)橢圓C：上一動(dòng)點(diǎn)P的橢圓C的動(dòng)切線，過(guò)C的左焦點(diǎn)作l的垂線，求垂足Q的軌跡方程。分析：如圖，本題如果忽視了橢圓的光學(xué)性質(zhì)將很難著手，或許借助橢圓參數(shù)方程可以求解，但運(yùn)算相當(dāng)繁瑣，由于l是橢圓

2、的切線，切點(diǎn)為P，聯(lián)想到橢圓光學(xué)性質(zhì)及反射定律，可知：l是∠的外角平分線，關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上。這樣，由于，故，而Q，O分別是的中點(diǎn)，所以。從而Q點(diǎn)軌跡是O以為圓心，以4為半徑的圓。即點(diǎn)的軌跡方程為較難的例題例1.（2011年北京大學(xué)保送生考題）求證：過(guò)雙曲線上一點(diǎn)P的切線平分∠F1PF2，其中F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)。例2.（2011年高考全國(guó)卷Ⅱ理科第15題）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)A∈C，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,0），AM為∠F1AF2的平分線，則=；例3.（2006年北京大學(xué)自主招生保送生測(cè)試試題）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓Γ：的兩個(gè)焦點(diǎn)，如圖所示，直線l1，l2是

3、橢圓Γ的過(guò)橢圓外一點(diǎn)P的兩條切線，切點(diǎn)分別為T1，T2，證明：∠F1PT1=∠F2PT2解：如右圖所示，作點(diǎn)F1關(guān)于直線PT1的對(duì)稱點(diǎn)，則由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知三點(diǎn)共線，連結(jié)，可得再作點(diǎn)關(guān)于直線PT2的對(duì)稱點(diǎn)，得三點(diǎn)共線，連結(jié)，可得。。所以，進(jìn)而可得△≌△，因此∠-∠=∠-∠，2∠=2∠，∠=∠