數(shù)學建模論文--競渡策略的數(shù)學優(yōu)化模型

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1、競渡策略的數(shù)學優(yōu)化模型[摘要]:本文針對水流速度恒定的情況下，如何選擇游泳方向使到達目的地的時間最少的問題，建立起游泳者以恒定速率，水流速相等和不等時，選擇最佳路線的數(shù)學優(yōu)化模型?！±梦锢磉\動學的知識，采取以游泳者的靜水速度與水流速度的矢量和視為游泳者在“靜水”中行進的方法，得出2002年“武漢國際搶渡長江挑戰(zhàn)賽”冠軍是始終以1.54m/s的速度沿著與水流方向成行進的，并得出一個游速為1.5m/s游泳者應沿的方向行進得最佳成績?yōu)?10.46秒。同時結合模型一，討論了游泳者始終以岸邊垂直方向并要求到達終點

2、的條件，分別求得1934年與2002年兩次競賽游泳者需要達到的臨界速度為0.45m/s和2.19m/s，由此解釋了兩次競賽到達終點人數(shù)百分比的差別。對于水流速是離散分布的情況，建立時間優(yōu)化模型,用拉格朗日乘數(shù)法求得游泳者用T=904.02秒，沿三個水流速度分界處方向與水流正向分別成，，游完全程。在水流速度是連續(xù)分布的情況下，運用微元思想，用極端法求出的范圍，應用MATLAB軟件編程搜索，當n=7時得到T=882.06秒。關鍵詞：競渡;拉格朗日乘數(shù)法;離散化1?問題的提出“競渡”是一項能增強人們體質，鍛煉人

3、們意志的體育競賽活動.由于水情和水性的不可預測性，這種競賽更富有挑戰(zhàn)性和觀賞性，所以得到越來越多人的關注和參與.作為一項競賽活動，“競渡”有其自身特點，除游泳選手自身素質外，水流和路線都直接影響競賽成績.因此，選手合理安排自己的行進路線是取得佳績的重要問題.針對這個問題，在水流速度為恒定分布、離散分布和連續(xù)分布等情況下，我們提出了如何為選手選擇最佳游泳路線的問題.2問題的分析這是一個競渡問題，是一個選擇最佳行進路徑問題.由于氣候、水溫、風力等客觀因素可直接影響游泳者的成績，為使問題簡單化，我們可忽略這些客

4、觀因素影響，因此，這其實又是一個求時間最短的優(yōu)化問題.對于這個問題,我們只要求出游泳者與水流方向合適的夾角,問題就基本解決.利用物理運動學的知識，把游泳運動分成垂直于起點岸指向對岸和沿著水流兩個方向分析.垂直方向游泳者游過的路程應與江面寬度相等，水流方向的路程應與起點和終點沿水流方向的距離相等.我們就這兩個條件，追求游泳時間最少的目標，對不同的水流速度分布，由簡單到復雜，層層深入，最終建立趨于實際條件的優(yōu)化模型.3模型的假設１．游泳者保持恒定速度游完全程，且沒有人中途退出.２．水流速度恒定，視江岸為兩平行

5、直線.３．忽略渦流、氣候、水溫、風力等客觀因素對渡江的影響.４．假設江面有向導船、標識，可以隨時間調整游泳者的方向，并忽略改方向的時間.4符號約定游泳者的游泳速度　長江水流速度　游泳者的速度與長江水流速度的矢量和　游泳者的速度與長江水流速度所成的角.游泳者在第i區(qū)域所用的時間.T游泳者從起點到終點所需的總時間游泳者在I區(qū)域沿流水方向游過的路程,若是負的則表示沿逆水流向表示第i個區(qū)域的寬度5模型的建立與求解1075.１水流速恒定的模型Y起點O圖1.1xAB以起點為原點，垂直于起點岸指向正對岸為y軸正向，水流

6、方向為x軸正向建立坐標系，水流方向與游泳方向所成的角為，為江面寬度,為起點正對岸到終點的距離,如圖1.1，則有故有　即……(1)……(2)……(3)聯(lián)立（１）（２）（３）式,并把,,,代入可解得若,由于游泳者在水平和垂直方向前進中所用時間相等.即可解得所用時間根據(jù)速度選擇方向的一般模型,類似上述模型，設水流方向與合速度方向夾角為，水流反方向與游泳方向所成角如圖1.2，則根據(jù)正弦定理和余弦定理可建立一般模型.??107起點oyx圖1.2A終點B??5.2基于游泳者垂直于正對岸游的討論由圖2.1知故其臨界速度

7、：?同理可求得圖2.2的臨界速度為?4863.6圖2.2OAB1000圖2.1OAB?在2002年要想游到終點，游泳者在靜水中的速度最少要2.1924m/s，而1934年的只需0.4508m/s.對游泳者來說，0.4508m/s的速度容易實現(xiàn)，2.1924m/s的速度卻很難達到，幾乎不能達到（至2004年止，1500米自由泳世界紀錄的平均速度才1.714m/s）.故1934年和2002年能游到終點的人數(shù)的百分比差別如此之大.107終點B第三區(qū)域第二區(qū)域第一區(qū)域起點O圖3.1第二區(qū)域第一區(qū)域起點O圖3.25

8、.3水流速為離散分布的模型把江面寬度分為三個區(qū)域，為第一區(qū)域，為第二區(qū)域，為第三區(qū)域，各個區(qū)域對應的水流速分別為1.47m/s、2.11m/s和1.47m/s如圖3.1所示.由于第一區(qū)域與第二區(qū)域水流速分布的類似性，可將第一、三區(qū)域合并為一個區(qū)域，稱為第一區(qū)域.如圖3.2所示.?設第一區(qū)域內(nèi)游泳方向與水流方向夾角為，第二區(qū)域內(nèi)的夾角為，則可得出優(yōu)化模型二?min?s.t.令則模型可簡化為min?s.t.（*）根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法