4、為可測(cè)集,S。為開(kāi)集，則S.US.是（A.可測(cè)集B.不可測(cè)集C.開(kāi)集D?閉集8、下列函數(shù)在（0,+00）上兒乎處處為1的是（）
5、A./(%)=sinx；B./(%)=lnx；C./(x)=cos(2/zx)；D./W={7xeQx^Q9、設(shè)E是［0,1］中的不可測(cè)集,xeE"[0,1]—E則下列函數(shù)在［0,1］±必可測(cè)的是（）D.廣（x）A./(x)B./+(x)C.l/(x)l10、設(shè)￡＞（兀）為狄里希勒（Dirichct）函數(shù)，則打￡）（兀皿二（A.0B.1/3C.1/2D.1滿分20得分二、填空題（每個(gè)小題2分，共20分）1、寫(xiě)出區(qū)間［0,1）到區(qū)間（0,1］的一個(gè)——映射2、設(shè)兀=（1,0,…,0）,y=（l丄…,1）為歐
6、氏空間川中的兩點(diǎn)，則它們之間的距禺d（x,），）二3、設(shè)E為［0,1］屮的有理數(shù)全休，則E的導(dǎo)集E'=4、設(shè)…，E”都是可數(shù)集,則m（E1U￡2U---U￡J=5、若集合G能表示成，則稱G為集6、設(shè)/Q)在E上可積，則對(duì)任何可測(cè)集AuE,有l(wèi)imff(x)dx=加AtOJA7、設(shè)/'⑴在可測(cè)集E上可積，則mE［
7、/
8、=o)］=8、設(shè)Q為有理數(shù)集，則卜加二9、定義在［d,刃上的函數(shù)/(兀)是囿變函數(shù)的充要條件是，它可以表示成兩個(gè)函數(shù)的差。10、定義在可測(cè)集E上的一切p幕可積的函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)類，稱為空間滿分2
9、0得分三、判斷題(每個(gè)小題2分，共20分)()1、設(shè)是任意兩個(gè)集合，則A-(A-B)=B()2、有限個(gè)可列集的并為可列集()3、全體有理數(shù)為可列集()4、E的內(nèi)點(diǎn)必然屬于E()5、有限個(gè)開(kāi)集的并為開(kāi)集()6、若Vre2,E［/=r］都可測(cè)，則于在可測(cè)集E上也可測(cè)()7、可測(cè)函數(shù)列｛/?(%)｝在E上a.e.收斂于一個(gè)a.e.有限的可測(cè)函數(shù)/(x),貝IJ｛九(力｝在E上基本上一致收斂于/(兀)()8、設(shè)G為開(kāi)集，貝ljmG=mG()9、若可測(cè)集4是可測(cè)集B的子集，且mB=mA,則m(B-A)=O)10、/
10、(切在［恥］上R可積，貝怕必同時(shí)L可積，且有相同的積分值滿分40得分四、證明題（1-5題每題7分，6題5分，共40分）1、證明：任意無(wú)窮集合都可以和它的某個(gè)真子集對(duì)等.2、證明所有系數(shù)為有理數(shù)的多項(xiàng)式組成一可列集.3、設(shè)4,3均為有界可測(cè)集，試證：m(AUB)=mA+mB-m｛APlB).4、設(shè)可測(cè)函數(shù)列｛//%)｝在可測(cè)集E上基本一致收斂于/(%),證明九⑴在E上a.e.收斂于/(x).5、設(shè)rtl［0J］中取出兀個(gè)可測(cè)了集E［,E2,-.En,假定［0,1］中任一點(diǎn)至少屬于這〃個(gè)集中的q個(gè)，試證必有一
11、集，它的測(cè)度大于或等于g/e6、試從=(!—%)+(x^—x?)+…，Ovxvly求證:In2=1—*+*—++????
